[확률론] 랜덤 프로세스(Random Process)

확률전공내용에서 가장 어렵고 와닿지 않는 부분을 한번 알아보자. 이 랜덤 프로세스 부분은 가장 어려운 부분이긴 하지만 실제로 통신분야나 신호처리 분야에 많이 사용되니 꼭 알고 넘어가야 하는 개념이라고 생각한다. 특히 잡음이나 레이더 분야에서는 거의 핵심기술로 사용된다고 들었는데, 이쪽 분야에 관심이 있다면 관심 있게 보기를 바란다.

1. Concept of random process

-랜덤 프로세스는 시간을 포함하는 랜덤 변수의 확장으로 취급하는것이다. 다시 말해 어떤 outcome이 출력될 때 이는 시간의 함수인 signal로써 출력이 되는 것을 의미한다.

-모집단의 실험결과의 outcome이 s1,s2,s3...sn이 존재할 때 각각이 시간의 함수 x1(t), x2(t), x3(t)로 assign이 된다. 이렇게 도출된 outcome들 중 랜덤 한 결과가 나올 수 있으며 이를 통칭해서 X(t)라 지칭한다.

위와 같이 각각을 샘플링한 결과가 시간의 함수인 어떤 신호로 나오는 것을 확인할 수 있다. 각각은 모두 랜덤 한 결과이고 우리는 이러한 과정을 랜덤프로세스라고 통칭한다. 즉, 랜덤 한 변수가 아닌 랜덤 한 신호가 샘플링된 것이고 이러한 신호는 시간에 따라서 변화할 수 있는 시변함수로 취급된다.

2. Random process with time

-랜덤 프로세스와 시간은 아주 밀접한 관련이있다. 실제로 샘플링한 신호가 시간에 따라서 변하기 때문에 시간에 따라서 확률적인 분포가 바뀔 수도, 혹은 변하지 않을 수도 있다. 이는 샘플링한 신호가 시간에 대한 어떤 특성을 가지냐에 따라서 확률적인 분포가 다르게 나타날 것이다.

-어떤 샘플링한 신호를 assign 한 X(t)의 신호에서 시간 t를 고정시킬 때, 더 이상 신호각 아닌 numerical 한 랜덤변수가 생성이 된다. 즉 시간축이 고정된 경우에는 랜덤프로세스는 랜덤변수를 생성하게 된다.

3. Classification of Random processes

앞서 설명한 랜덤프로세스는 시간에 받는 영향이 매우 크고 시간에 어떠한 영향을 받는지에 따라서 과정의 해석이 달라진다. 특히 시간에 대해서 변하지 않을 경우 우리는 시간변수를 제외하고 확률적인 분포를 계산할 수 있을 것이다. 따라서 랜덤 프로세스가 시간에 따른 영향을 분석하는 것인 확률적인 분포를 예측하는 데에 매우 중요하다.

-Wide sense stationary

N-fold joint pdf가 t에 대한 함수이지만, X(t)의 평균과 autocorreation이 시간에 대한 함수가 아니면, 즉 E[X(t)],R(t,t+k)가 t에대한 함수가 아니면 이때 X(t)의 랜덤 프로세스의 특성을 Wide sense staionary라고 한다. 다시 말해 샘플링한 신호의 평균과 autocorreation이 시간에 대한 함수가 아니면(시불변함수) 위와 같은 특성을 가진다고 말할 수 있다.

-Stationary

랜덤 프로세스 X(t)의 통계적인 특성이 시간에 따라서 변하지 않을 때 즉, 시간에 대한 함수가 아닐 때를 stationary라고 하고, 이때의 X(t)는 시간이 지나도 통계적인 특성이 변하지 않는다. PDF의 조건은 다음과 같다.

함수식에서 우리는 델타 t만큼 시간 평행이동을 했을 때 동일한 분포 즉, PDF가 동일할 때 우리는 X(t)를 staionary 하다고 말할 수 있다.

-Ergodic

어떤 Sample function의 통계적인 특징으로부터 전체의 랜덤 프로세스의 평균, 분산, 등을 구할 수 있을 때 우리는 이과정을 ergodic 프로세스라고 한다. 왜냐하면 X(t)에 대한 PDF를 실질적으로 추정하기 어렵기 때문에 샘플링한 함수를 이용해서 추정하는 방법을 많이 사용하기 때문이다.

따라서 랜덤 프로세스의 모든 통계적인 특성들이 어떤 하나의 Sample function으로 묘사될 수 있을 때 이 랜덤 프로세스가 Erogodic 하다고 할 수 있다.