[확률론] 랜덤 프로세스(Random Process) (3)

자기 상관함수는 시간축에 대해서 유사성을 분석하는데 아주 유용하게 사용되는 파라미터이다. 하지만 실질적으로 우리는 어떤 pdf를 직접적으로 구할 수 없고, 신호를 샘플링해서 해석하기 때문에 직접 자기 상관함수를 구할 수 없다. 따라서 우리는 power-spectral density함수를 도입해서 함수를 간접적으로 구할 수 있다. 

 

-Wiener Khintchine Theorem

power-spectral density 함수를 결정하기위한 가장 기본적인 개념으로, 자기 상관함수와 푸리에변환 관계에 있다는 이론이다. 따라서 power-spectral density 함수와 자기 상관함수 둘 중에 하나만 알더라도 푸리에 변환과정을 통해 다른 함수를 알아낼 수 있다는 것이다. 

Wiener Khintchine Theorem

-Linear systems and random processes

선형시스템에서 신호는 크게 입력신호와 출력신호로 구분된다. 특히 '전달함수'라는 개념이 새롭게 등장하는데 전달함수는 어떤 시스템에서 입력과 출력의 관계를 나타내는 함수이고 입력신호를 출력신호로 바꾸어주는 역할을하는 함수이다. 이 전달함수를 통해서 출력신호를 도출할 수 있고, 신호의 크기와 위상을 결정할 수 있다. 

입/출력 신호간 전달함수

다음과 같이 입/출력신호에대한 전달함수가 결정될 수 있을 것이며, 전달함수를 결정하는 것이 시스템해석의 주 목적이고 가장 크리티컬 한 해석방법이다. 이 전달함수와 입/출력신호의 연산은 영역(Domain)에서 연산을 수행하는지에 따라서 다르게 연산된다. 시간영역(t-domain)에서 연산될 때는 컨볼루션 적분을 통해서 입력신호에 대한 출력신호가 연산되고, 푸리에변환을 통한 f(주파수영역)이나 라플라스변환을 통한 s-영역에서는 곱연산으로 간단하게 출력신호가 나올 수 있다. 이와 같은 특성 때문에 변환을 통해서 출력함수를 곱연산으로 간단하게 결정한 뒤, 다시 역변환을 통해서 출력신호를 t에 대해서 나타내는 방법이 많이 사용된다.

t-영역에서의 출력신호

power-spectral density함수는 기본적으로 주파수영역이기 때문에 푸리에변환이 되어있는 상태일것이다. 따라서 입/출력을 결정하는 전달함수의 연산이 다음과 같이 간단하게 나타날 수 있다.

power-spectral density 함수의 입/출력

위 과정은 푸리에변환의 쌍대성원리와 변환정의에 의해서 다음과 같이 증명된다.

특히 컨볼루션연산이 푸리에변환과정을 통해서 곱연산으로 간단하게 변환된 것을 주목하자. 또한 x축대칭함수가 푸리에 변환과정을 통해서 복소함수의 conjugate(켤레복소함수)로 변환되었다. 이과정은 푸리에변환의 쌍대성의 원리이므로 변환 시에 유용하게 사용되는 개념이다. 

결론적으로 랜덤 프로세스에서 시간적 통계유사성을 판단하기 위해서 자기 상관함수를 결정해야 하지만 이 함수를 시간에 대해서 결정하기 힘들기 때문에 power-spectral density함수를 푸리에변환을 통해서 결정한다. 그다음 입/출력함수 연산을 통해 출력과 상관함수를 결정해서 역푸리에변환을 통해 다시 시간영역에서 해석해야 우리가 원하는 시간영역에서 의미 있는 통계적인 데이터를 얻을 수 있을 것이다.