[확률론] 랜덤 프로세스(Random Process) (2)

이번에는 랜덤 프로세스에서 사용되는 pdf의 다양한 파라미터들에 대해서 한번 알아보자. pdf에 적용되는 파라미터들은 signal을 시간에 대해서 비교분석할 때 많이 사용되고 특히 다양한 signal을 시간에 대해서 어떤 식으로 변화하는지에 초점이 맞추어져 있다.

 

-평균(Average)

평균은 시그널을 해석하는데에있어서 가장 기본적인 파라미터들 중 하나이다. 우리가 일반적으로 알고 있는 평균의 개념과 동일하며 t에 대한 함수로 나온다는 것이 특징이다. 따라서 시간에 따라서 평균값이 달라 질 수 있다는 것이 랜덤 프로세스에서의 특징이다. 

평균식

-분산(Variance)

분산역시 신호를 해석할 때 가장 기본적으로 사용되는 파라미터이다. 신호의 분포가 시간축에 대해서 평균과 떨어져 있는 정도를 나타내는 수치이며, 이 값이 높을수록 평균과 멀리 떨어져 있다는 것을 의미한다. 마찬가지로 t에 대한 함수로 나타나며, 시간에 따라서 분산값이 달라질 수 있다. 분산은 표준편차의 제곱으로 나타나며 항상 양수값으로 나온다. 

분산식

-자기 상관(Autocorrelation)

Autocorrelation은 랜덤프로세스에서 새롭게 사용되는 파라미터들 중 하나이다. 이 파라미터는 시간축의 개념이 추가되면서 시간에 대해서 신호를 비교하기 위해 새롭게 만들어진 파라미터이다. 즉, 한 신호에 대해서 다른 두 시간대에서 얼마나 통계적으로 유사한지에 대해서 나타내는 수치이다. 

시간축에대한 통계적 유사성

위 신호에 대한 통계적 유사성을 따져보자. X(t) 신호는 시간 t에 대해서 변화가 크지 않고 천천히 변화하고 있는 것을 확인할수있는 반면, Y(t)의신호는 비교적으로 시간축에대해서 변화폭이 크고 빠르게 변화하고있는것을 관찰할 수 있다. 따라서 같은 시간차(타우)를 두고 통계적 유사성을 비교했을 때 x의 Autocorrelation이 y보다 항상 크게 나오는 것을 확인할 수 있다.

Autocorrelation 정의식

 -교차공분산(Cross covariance)

교차공분산은 두 신호에 대해서 상관관계를 결정하는 파라미터이다. 신호의 '경향성'을 판단하는 파라미터이고 이때의 경향성은 통계적인 경향성을 의미한다. 만약 xy의 교차공분산의 값이 높고, x가 시간에 따라서 커지는 통계적인 특성을 가지고 있다면 y 역시 시간에 따라서 커지는 경향성을 가질 것이다. 반대로 교차공분산의 값이 낮으면 두 신호에는 아무런 상관관계가 없으므로 y의 경향성은 쉽게 판단할 수 없을 것이다. 이처럼 공분산의 파라미터로 우리가 예측할 수 없는 어떤 신호의 경향성을 판단하는데 유용하게 사용된다.

공분산 정의식

-시간평균(Time average)

신호해석에 시간축이 추가된 만큼, 평균 역시 시간평균 파라미터가 추가되었다. 시간평균은 어떤 신호의 Ergodic을 판단하기 위해서 사용되며 앞서 설명한 대로, 어떤 파라미터에서 앙상블 평균과 시간평균이 같다면 그 신호가 Ergodic임을 알 수 있을 것이다. 

시간평균의 정의

앞서 설명한 평균과 시간평균이 같다면 어떤 신호는 평균에서 ergodic 하다고 할 수 있다. 결론적으로 Ergodic의 조건이 앙상블평균과 시간평균이 같아야 한다는 것이다. 시간평균식은 시간축에 대한 전구간 적분값을 구간길이로 나누어준 것이 시간평균값으로 정의된다.