전공/공학수학32 [공학수학2] 푸리에변환(Fourier Transform) (2) 이전에는 푸리에변환을 좀 더 수학적으로 모델링해보자. 도메인을 시간영역에서 주파수영역으로 바꾸기 위해서는 어떤 수학적 도구가 필요할까? 바로 적분변환이 사용된다. 라플라스변환에서도 마찬가지로 적분변환을 이용해서 s영역으로 도메인을 변환했던 것처럼 푸리에변환에서도 동일하게 적분변환을 통해서 주파수 영역으로 바꿀 수 있을 것이다. 다만 차이점은 푸리에변환은 허수의 개념이 들어간다는 것이다. 허수의 개념이 들어가는 이유는 위상을 복소평면에 나타내기 위해서 이다. 정확한 개념은 오일러공식의 개념을 이용해서 설명이 가능하다. 위와 같이 푸리에변환식과 역변환식이 정의된다. 푸리에변환식은 푸리에급수식으로부터 출발하지만 상황에 따라서 얼마든지 다르게 유도할 수 있다. 문헌에 따라서 적분식 앞에 상수가 붙는 경우도 있지.. 2023. 1. 26. [공학수학2] 푸리에변환(Fourier Transform) 마지막으로 푸리에 변환에 대해서 한번 알아보자. 푸리에변환은 공학에서 자주 사용되는 변환법이고, 특히 통신이나 신호처리분야에서 가장 많이 사용된다. 푸리에변환은 함수의 도메인을 바꾼다는 것에서 의미가 있다. 쉽게 설명하면 함수(신호)의 도메인을 시간에서 진동수로 바꾸는 과정이다. 시간에 대해서 여러 진동수가 합성된 신호를 진동수별로 나눌 수 있다. 위와 같은 시그널이 있다고 가정해 보자. 단일사인함수 같은 경우에는 진동수성분이 한 개이기 때문에 진동수성분을 파악하기 쉽다. 하지만 여러 진동수 성분이 합쳐져 있으면 어떻게 될까? 위와 같이 다양한 진동수 성분이 합쳐진 사인함수와 같은 경우에는 해석하기가 쉽지 않다. 함수의 주기성은 여전히 남아있지만 정확히 어떤 진동수 성분이 합쳐져 있는지는 직관적으로 알기.. 2023. 1. 26. [공학수학2] 유수적분법 복소평면에서 특이점이라고 하는 것은 해석되지 않는 점을 의미한다. 따라서 어떤 영역에서의 특이점은 그 영역에서 미분이 안 되는 point이며 해석이 되지 않는 점은 어떻게 다루어야 할까? 유수적분법은 이러한 영역에서 해석되지 않는 점에 대해서 중점을 맞추어서 적분을 수행한다. 특히 양수차항에서 음수차항까지 급수항을 확장해서 해석한다. 특이점 극(pole)움직임 특성을 이용해서 어떤 급수의 최고차항을 알아낼 수 있다. 특히 최저차항의 값만큼 양변을 곱해주어서 최저차항까지 해석할 수 있는 형태로 만들 수 있다. 해석함수의 영점 개념을 이용해서 테일러급수의 계수를 좀 더 간단하게 나타낼 수 있다. 특히 영점의 개념을 이용해 n번째 계수 이전항은 모두 0이 된다는 것을 이용해서 급수식이 간단하게 된다. 유수적분.. 2023. 1. 25. [공학수학2] 수열과 급수(2) 수열의 수렴원과 수렴반지름에 대해서 한번 알아보자. 수렴원이라고 해서 실제적으로 원이 있는 것은 아니고 수열의 수렴과 발산을 모델링한 것이라고 생각하면 편하다. 수렴반지름보다 작을 때는 수렴하는 수열로 해석할 수 있고, 수렴반지름보다 클 때는 수열이 발산한다고 할 수 있다. 수렴반지름을 판단하고 수렴반지름 z=R에서의 수렴과 발산을 판단할 때는 좀 더 자세한 판단이 요구된다. 즉 수렴반지름 위에서의 수렴발산은 따로 고려해야 된다는 것을 의미한다. 수열에서의 수렴반지름은 비 판정법에서 사용되었던 계수 L의 역수로 나타나며, 비판정법 식의 역수로 바로 구할 수 있다. 거듭제곱 급수로 나타나는 무한등비수열은 등비의 크기가 1보다 작을 때 수렴한다는 조건이 중요하다. 등비급수의 급수식은 무한등비수열 급수식과 동.. 2023. 1. 20. [공학수학2] 수열과 급수 이번에는 복소수영역에서의 수열과 급수에 대해서 알아보자. 복소수 수열은 수렴하는 수열과 수렴하지 않는 수열로 나뉘는데 수렴의 정의는 입실론-델타 방법을 이용해서 수렴을 정의할 수 있다. 간단하게 정의를 내려보면 수렴값~함수의 극한값의 거리가 충분히 작다면 그 함수는 극한값으로 수렴한다라고 말할 수 있다는 것이다. 복소수에서의 수열은 마찬가지로 실수부 수열과 허수부 수열을 나누어서 해석할수있다. 어떤 복소수 수열이 수렴한다면 실수부 수열과 허수부 수열이 모두 수렴한다. 급수의 수렴의 종류에는 절대수렴과 조건수렴이 있다 이러한 수렴과 발산 판단에는 여려가지의 판정법이 존재하는데 급수식에 따라서 알맞은 판단법을 사용해 수렴과 발산을 판단할 수 있다. 마찬가지로 비교판정법, 비 판정법, 근 판정법과 같은 여려가.. 2023. 1. 19. [공학수학2] 복소적분(2) 복소적분시에 선적분 경로에 대한 특성을 알아보자. 어떤 복소함수를 선적분할 때 양끝의 시작점과 끝점은 같지만 그 경로(변위)가 다른 경우는 선적분값이 다르다. 경로에 독립일 경우에는 경로가 다를 때 적분값이 동일하지만 일반적 상황에서 경로가 다르면 선적분값이 다르다. 이전에 했던 선분 매개화를 통해서 적분값을 구할수있다. 선분 op는 시작점과 끝점이 같지만 경로는 여러 가지가 될 수 있다. 따라서 직선경로와 x축과 y축을 통해서 p점에 도달하는 경로를 한번 비교해 보면 경로에 따라서 적분값이 다르다는 것을 확인할 수 있다. ML부등식은 특정함수를 적분하기 힘들거나 함수 boundary를 구할 때 사용하면 좋다. 특히 경로가 일반적이지 않거나 적분이 힘든 함수일때 유용하게 사용된다. 코시의 적분정리 역시 .. 2023. 1. 19. 이전 1 2 3 4 ··· 6 다음
