[전자기학1] 원통좌표계

앞서 설명한 대로 전자기학에서는 직교좌표계만을 사용해서 해석하기 어려운 개념들이 많다. 따라서 우리는 원통좌표계와 구좌표계라는 좌표계를 새롭게 알아야 할 필요성이 있다. 직교좌표계가 가장 직관적이고 연산의 과정이 필요 없다는 장점이 있지만 원통좌표계와 구좌표계에서만 해석이 되는 물리적인 상황이 많기 때문에 좌표계의 특성과 변환과정을 모두 익혀야 할 것이다. 좌표계를 알아보기 전에 각 좌표계를 적용하기 위한 거리계수라는 개념을 먼저 알아보자.

#거리계수

거리계수는 벡터가 길이를 의미하는 것이 아닐때 적분에서 사용하는 계수이다. 다시 말해 어떤 벡터를 길이를 내포하는 의미로 바꾸어 주는 장치이다. 벡터가 길이를 내포하지 않을 수도 있다는 것에 약간 생소할 수도 있는데 원통과 구좌표계에서는 길이를 의미하는 것이 아닌 각도를 의미하는 벡터도 있기 때문에 이 거리계수를 이용하여 길이로 바꾸어주는 과정이 필수적이다.

위와 같이 벡터 u가 3 성분이 존재한다고 할 때 거리계수 h를 곱해서 길이를 의미하는 벡터로 변환하는 과정이다. 좀 더 자세한 내용은 이후에 좌표계를 설명하면서 적용해 보면 이해가 될 것이다. 핵심적인 내용은 길이가 아닌 벡터를 길이로 만들어 주는 역할을 하는 계수라는 것이다.

#원통좌표계

원통좌표계는 말그대로 원통의 중앙을 좌표계로 고정시킨 모델이다. 따라서 원통의 밑면 중앙이 좌표계의 원점이 된다.

위와 같이 원통밑면의 중앙이 좌표계의 원점인 부분이다. 원통좌표계는 직교좌표계와는 다른 좌표점을 가지는데 직교좌표계에선 (x, y, z)를 이용해서 좌표점을 표현하는데 원통좌표계에서는 (r, seta, z)로 표현한다. 벡터의 표현식은 다음과 같다.

r은 원통좌표계의 원통반지름을 결정하는 요소이고 seta(파이)는 1차원상의 원에서 어디에 위치하는지 나타낸것이다. x축을 기준으로 반시계방향으로 잰 각을 의미한다. 마지막으로 z는 직교좌표계의 z와 동일한 높이를 의미하는 요소이다. 극좌표계와 상당히 비슷한 형태이지만 3차 원상에서 표현된다는 점에서 약간 다르다. 극좌표계의 3차원 표현식 즉, 극좌표계에서 높이가 추가된 것이 원통좌표계라고 이해하면 될 것이다.

원통좌표계와 직교좌표계의 관계는 다음과 같다. x단위벡터와 r단위벡터는 세타만큼 각을 이루고 세타방향의 벡터와 y방향의 벡터역시 세타만큼의 각을 이루고 있다. 이때 주목해야 할 점은 각 단위벡터들의 방향이다. r방향 단위벡터는 원의 중심을 기준으로 밖으로 향하는 방향이고, 세타의 방향은 반시계방향으로 돌아가는 방향에서 접선의 방향이 된다. 따라서 r방향과 seta방향은 항상 수직을 이루고 있다는 특징이 있다. z방향은 직교좌표계와 동일하게 z방향의 단위벡터를 가진다.

앞서 적분인자를 사용할때 거리가 아닌 벡터를 표현할 때는 거리계수를 이용해야 한다고 했는데 원통좌표계에서도 거리계수를 사용해야 한다. r과 z는 거리를 내포하고 있는 벡터이지만 seta는 거리를 내포하고 있는 벡터량이 아니기 때문에 거리계수를 이용해서 거리로 바꿔야 할 필요가 있다.

두 번째 요소인 seta의 경우에는 거리가 아니기 때문에 거리계수인 r을 곱해서 거리를 표한하는 적분인자로 취급한다.

따라서 미소 거리적분인자와 부피를 표현하는 적분인자도 거리계수를 이용해서 위와 같이 표현할 수 있다. 특히 거리계수가 상수가 아닐 경우는 적분구간에 따라 적분값이 달라지기 때문에 거리계수를 꼭 까먹지 말고 적분식에 포함해야 한다.

#좌표변환(Coordinate Transformation)

이번에는 원통좌표계로 표현된 좌표계를 어떻게 다시 직교좌표계로 변환하는지 변환하는 방법을 한번 알아보자. 우리에게 익숙한 좌표계는 직교좌표계이기 때문에 원통좌표계로 해석한 좌표값을 다시 직교좌표계에서 봐야 할 때가 있다. 따라서 좌표변환 역시 알아두어야 직교좌표계로 결과를 다시 표시할수있다. 이전에 어떤 특정한 벡터 성분을 알기위해서는 그방향 단위벡터로 내적연산을 해서 알아낼수있다고하였다. 좌표변환역시 이 내적의 개념을 이용해서 방향성분을 알아내는 과정이다.