이번에는 구좌표계를 한번 알아보자 구좌표계는 원통좌표계보다 약간 더 어렵다. 원통좌표계의 경우 z좌표는 직교좌표계랑 동일한 요소였지만 이번에 알아볼 구좌표계는 직교좌표계와는 모두 다른 요소를 가지고 있지 때문에 더 어렵다. 특히 거리계수를 이용해 변환이 필요한 요소가 2가지이기 때문에 좀 더 이해가 필요한 좌표계이다.
위 그림이 구좌표계를 도식화한것이다. 원통과는 다르게 구좌표계는 구의 중심이 좌표계의 원점이 된다. 좌표는 (R, seta, pi)로 나타난다. 쉽게 말하자면 R은 구의 반지름이고 seta는 z축좌표축으로부터 잰 각도이고, pi는 x축좌표축으로부터 잰 각도이다. 원통과는 다르게 한 개는 길이이고 나머지 요소는 각도를 나타난다. 따라서 거리계수 역시 2개가 필요하다. 좌표계가 point를 지정하는 원리는 R이 구를 결정하고 seta와 pi가 구상에서 위치를 나타내는 원리이다.
구좌표계의 벡터표현식은 다음과 같다. R방향단위벡터는 구의 중심좌표에서 밖으로 향하는 벡터이고 seta방향 단위벡터는 z축을 기준으로 구의 아랫방향으로 내려오는 방향이다. 다시 설명하자면 x축이 튀어나오는 방향을 기준으로 봤을 때 yz평면상의 원을 기점으로 시계방향으로 접선을 만드는 방향이다. 그리고 pi방향 단위벡터는 원통좌표계에서 배웠던 것과 동일한 방향인 x축을 기준으로 반시계방향으로 잰 원의 접선방향이 된다.
거리계수는 seta에는 R이 계수가 되고 pi에는 Rsin(seta)가 계수가 된다. 왜 이것이 계수가 되는지는 그림을 통해서 알수있다. 2가지 요소의 좌표계에서 거리계수가 존재한다는 사실을 미리 기억해 두자.
특히 구좌표계에서 미소면적이 많이 헷갈리는데 기하학적으로 해석하려면 약간의 노력이 필요하다. 따라서 문제를 풀때마다 기하학적 해석을 하기 힘들기 때문에 그냥 외우는 것이 마음이 편할 것이다. 외울 때는 R방향면적이면 R을 빼고 나머지 미소요소를 다 곱한다고 생각하면 편하다. 각각의 방향에서의 미소벡터와 거리계수를 제외하고 나머지 요소를 모두 곱한 것이 미소 면적이 된다.
각 좌표계별 거리계수와 미소적분요소는 꼭 암기해야할 필요성이 있다. 적분을 하기 위한 가장 기본적인 요소들이기 때문에 이 개념을 알지 못하면 적분을 할 수 없다. 이번에는 좌표변환을 알아보자.
#좌표변환
좌표변환역시 원통좌표계일 때 보다 더 복잡하고 이루는 각도가 단순하지 않다. 따라서 그림을 보고 잘 이해하는 것이 중요하다.
좌표변환의 원리는 앞서 설명한 내적의 원리를 그대로 적용한다. 마찬가지로 각각의 단위벡터들이 이루는 각도를 찾아서 삼각함수로 나타내는 것이 목적이다. 하지만 원통좌표계와는 다르게 각각의 단위벡터들이 이루는 각을 찾는 것이 쉽지가 않다. 왜냐하면 같은 1차 원상에서 존재하는 것이 아닌 다른 차원에 존재하는 단위벡터들이기 때문에 벡터들을 머릿속으로 다시 이어 붙어야 한다. 그래서 필자는 R방향과 seta방향 단위벡터를 항상 r방향벡터로 변환해서 적용한다. 다시 말해 R방향과 seta방향벡터를 xy평면상에 정사영을 시킨 다음에 x방향과 y방향으로 내적 한다는 것이다. 따라서 변환결과식은 다음과 같다.
확실히 원통좌표계에서 변환한 결과식보다 더 많이 복잡해진것을 확인할 수 있다. 특히 R방향과 seta방향의 삼각함수가 2개인 이유는 앞서 설명한 대로 정사영을 하는 과정에서 한 개의 삼각함수가 생기고 정사영과 나머지 단위벡터를 내적 하는데에서 한 개의 삼각함수가 생기기 때문에 총 2개의 삼각함수가 발생한다.
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