[물리전자] The K-space Diagram

이번에는 좀 더 실제적인 전자의 역학에 대해서 알아보자. 원자의 세계는 매우 작기 때문에 우리가 생각하는 것보다 훨씬 고려해야 될 것도 많고 예상하지 못하는 물리적인 상황도 자주 발생한다. 따라서 이번에는 밴드구조에서 전자가 실제로 어떻게 전이되고 어떤 특성을 가지는지 한번 알아보자.

 

1. E-k diagrams for a semiconductor material

먼저 E-k 다이어그램은 전자의 에너지와 파수(wave number)와의 관계를 나타내는 그래프이다. 이는 원자의 결정내에서 자유전자가 이동할 수 있는 에너지(밴드갭)를 정의할 수 있는 그래프로 간주될 수 있다.

 

자유전자에 대한 E-k 다이어그램

자유전자에 대한 다이어그램이 위와 같이 2차 함수형태로 나타난다는 것을 알 수 있는데, 정확한 식은 다음번 포스팅에 올릴 계획이다. 식을 유도해서 보면 k에 대한 이차식형태로 유도된다. 이는 앞서 배웠던 슈뢰딩거 시간독립 파동함수에서 식을 유도해서 모델링할 수 있다. 후에는 파수라는 개념은 파동의 동위상면 법 선벡터로 스칼라가 아닌 벡터의 물리량으로 해석되므로 파동의 진행방향을 포함하는 중요한 물리량으로 취급되므로 꼭 알아두도록 하자.

 

2. Kronig-Penney Model

슈뢰딩거 방정식을 이용해서 다이어그램을 유도하기 위해서 분자구조에 따른 전위 모델링이 필수적이다. 원자거리는 매우 작기 때문에 일반적인 방법으로는 전위를 정확하게 측정할 수 없다. 따라서 주기적인 결정격자에서 규칙적인 전위가 생성된다는 점을 이용해서 이러한 모델링을 사용해서 문제를 좀 더 해석할 수 있는 형태로 만들자.

1차원 단결정의 전위함수

사각파 형태로 모델링

위의 그래프처럼 1차원 단결정의 전위함수는 원자중심에 가까워질수록 높아지고 멀어지면 작아지는 경향의 반복적인 형태로 나타나며 단일원자의 파동함수 중첩으로 나타난 그래프이다. 하지만 우리가 해석할 때 이러한 그래프로 해석하는 것은 쉽지 않다. 따라서 상하경향의 반복된 구조인 square wave로 대체해서 해석하는 것이다. 

영역을 나눈 사각파

따라서 위와 같은 사각파를 전위장벽 경계치문제와 비슷하게 1 영역과 2 영역으로 나누어서 파동방정식을 풀어서 파동함수의 해를 결정할 수 있을 것이다. 함수를 영역별로 나누어서 해를 구할 수 있을 것이고 각 영역별로 경계조건을 적용해서 해를 결정하면 1차원 단일결정에 대한 파동함수가 영역별로 결정될 것이라고 예상할 수 있다.