[회로이론] 마디해석법(Node-Voltage method)

마디해석법은 복잡한 회로를 해석하는 데에 많이 사용되는 방법 중 하나이고 가장 기본적으로 알고 있어야 하는 방법이다. 특히 직관적으로 전류와 전압의 방향과 값을 결정할 수 없을 때 유용하게 사용되는 방법이다. 마디해석법을 알아보기 전에 다양한 용어와 기본적인 법칙을 먼저 알아보자.

 

-노드(Node)

먼저 노드의개념을 한번 알아보자. 노드는 둘 또는 더 많은 회로소자가 만나는 점을 노드라고 한다. 말로는 선뜻 이해하기가 어려울 것이다. 한번 직접 적용해 보자.

출처:위키백과

위 회로를 한번 해석해 보자. 같은 색깔로 된 부분은 모두 같은 노드이다. 모두 만나는 점이 다르므로 노드가 다른 노드라고 생각할 수도 있다. 하지만 직접회로를 연결해 보면 결국은 모두 한 점에서 만나기 때문에 모두 같은 노드라고 볼 수 있다. 노드-볼티지 방법은 이렇게 회로에서 같은 노드를 먼저 파악하는 것이 매우 중요하다. 간단하게 생각해서 마주치는 소자가 없는 부분을 모두 같은 노드라고 생각해도 무방하고, 같은 전위차를 가지는 부분을 모두 같은 노드라고 생각해도 크게 문제 되지 않을 것이다.

 

-Node Voltage method

노드-볼티지 예제

위 회로에서 ia, ib, ic의 전류를 결정해 보자. 노드-볼티지 방법은 순서와 절차가 존재한다. 따라서 순서에 따라서 회로를 해석하는 것이 중요하다.

 

1. 노드-볼티지 방법은 적용하기 쉬운 형태인지 판단한다

공통인 노드를 모두 표기해 준 다음 회로를 봤을 때 모든 소자에 연결된 공통노드가 존재하면 노드방법을 사용했을 때 쉽게 해결할 수 있는 회로이다. 따라서 위 회로는 모든 소자에 연결된 노드가 존재하므로 노드방법을 사용하기에 적합한 회로라고 판단할 수 있다.

 

2. 기준노드설정 및 노드의 전위차를 결정

그다음 여러 노드 중에 어떤 노드를 기준노드(Reference/Ground)로 설정할지 결정한다. 보통 기준노드는 모든 소자에 연결된 노드로 설정하는 것이 문제해결에 수월하다. 따라서 가장 하단에 위치한 노드를 기준노드로 설정한다.

가장 하단에 있는 노드가 기준노드(V=0)이므로 50V전압원 위쪽노드는 당연하게 50V의 전위차가 걸리게 된다. 상단 노드는 어떤 전위차가 걸려있는지 아직 모르는 상태이므로 미지전압 Va로 설정한다.

 

3. 전류법칙을 이용해 연립방정식 세우기

그다음 미지전압을 가지는 노드에 대해서 키르히호프의 전류법칙을 사용해 연립방정식을 이끌어낸다. 필자의 경우에는 미지노드에 대해서 나가는 전류=0이라고 식을 세우는 것이 편해서 연립방정식을 같은 방법으로 세우겠다. 따라서 다음과 같이 연립방정식이 세워진다.

이렇게 방정식을 세워서 미지의 전압을 바로 구할 수 있다. 위 예제는 모두 공통노드로 연결되어서 미지수가 한 개였지만 다른 회로의 경우에는 미지수가 여러 개인 경우도 있으므로 미지수의 개수만큼 식을 세워서 연립방정식을 풀이해서 미지전압을 찾아내야 한다. 당연하게도 미지수의 개수와 식의 개수가 동일해야 문제를 해결할 수 있다. 

 

4. 옴의 법칙을 이용해 전류결정

마지막으로 구한 전압과 옴의 법칙을 이용해서 전류를 결정해서 문제를 해결한다. 이때 주의해야할점은 수동부호규약을 적용해서 부호판단을 정확하게 해야한다는것이다. 옴의법칙은 정뱡향일때 우리가 알고있는 식으로 적용이 가능하다고 하였다. Va=40V이므로 ia,ib,ic는 전압이 강하하는 방향으로 흐르기 때문에 모두 정방향이다. 따라서 부호는 그대로 사용해도 될것이다. 따라서 옴의법칙을 적용해 보면

다음과 같이 전류가 최종적으로 결정되었다.