[공학수학1] 2계 비제차상미분방정식 (2)-매개변수법

앞서 설명한 미정계수법은 우리가 일반적인 형태를 알고 있을 때나, 형태가 복잡하지 않을 때 유용하게 사용할 수 있는 방법이었지만, 이 매개변수법은 비제차항이 복잡할 때 유리하게 미분방정식을 풀 수 있는 방법이 다. 특히 비제차항을 미정계수방법으로 정의할 수 없는 경우에 이 매개변수방법을 이용해서 미분방정식을 풀 수 있다. 

이 매개변수방법을 정의하기 위해서서는 론스키 행렬식(Wronskian) 의 개념이 들어간다. 제차해를 먼저 구한 다음 제차해를 이용해 행렬식을 각각의 디터미넌트로 정의해서 론스키 행렬식을 정의한다. 특히 이 행렬식은 각각의 기저에 대한 독립과 종속을 구별하는 데에도 유용하게 쓰이므로 알아두는 것이 좋다.

론스키 행렬식을 이용한 비제차해

위와 같이 행렬식의 값을 구한 다음 비제차해를 공식화해서 나타낼 수 있다. 이때 주의할 점은 r(x)의 항이 비제차항인데 이 항은 y''의 항이 1일 때의 기준으로 설정된 항이라는 것이다. 만약 계수가 1이 아닐 때 r(x)로 설정해서 공식에 대입하면 방정식의 비제차해가 틀린 해가 나오게 되므로 주의하자. 매개변수법을 활용하는 예제를 한번 살펴보자

위와 같은 예제는 우리가 저번에 알아보았던 미정계수방법으로는 풀 수 없다. 왜냐하면 비제차항이 secx이므로 우리가 정형적으로 비제차해를 정의할 수 있는 형태가 아니기 때문에 매개변수방법을 이용해서 해를 구해야 한다. 따라서 제차 해를 구해보면 다음과 같이 구할 수 있다.

제차해는 다음과 같이 삼각함수로 쉽게 구할수 있다. 

삼각함수의 형태로 구한값을 통해서 행렬식의 값을 바로 구할 수 있다. 

앞서 설명한 공식대로 공식에 대입해보면 쉽게 비제차해를 구할수 있다. 마찬가지로 r(x)의 값은 y''의 계수가 1일 때의 기준으로 하는 식을 사용해서 공식에 대입하면 올바른 해가 도출되는 것을 확인할 수 있다. 따라서 최종해는 다음과 같다.

최종해는 마찬가지로 제차해와 비제차해의 합으로 나타난다.