[공학수학1] 2계 제차상미분방정식(3)-오일러 코시 방정식

이번에는 단순히 상수계수를 갖는 형태가 아닌 x의항이 추가된 특별한 형태인 미분방정식을 알아보자.

2차 오일러-코시 방정식

위와 같은 형태를 오일러-코시 방정식(Euler-Cauchy equation)이라고 하며 y의 계수와 x의 차수가 동일하다는 특징을 갖는다. 보통 우리가 다루는 형태는 2차 오일러-코시 방정식에서 해석한다. 고계 오일러-코시 방정식은 해의 개수가 많아지기 때문에 해석하기 힘든 것이 일반적이다. 이때 a, b는 상수항으로 취급된다. 앞서 상수계수를 가지는 형태에서 해의형태를 가설해서 해석한 것처럼, 이 방정식에서도 마찬가지로 해의 형태를 예측해서 대입한 뒤, 오일러-코시 방정식의 기저와 일반해를 찾아보자.

위와 같이 x에대한 m차다항식으로 y 해를 가설해 보자. 다항식의 특성을 생각해보면 미분할수록 차수가 낮아진다는 특성을 우리는 알고 있다. 따라서 y의 계수와 x의 차수가 동일하다는 특성을 가진 오일러-코시 방정식의 해로 x의 고차다항식이 적합하다고 쉽게 예상할 수 있다. 가설해를 주어진 오일러-코시 방정식에 대입하면 다음과 같다.

임의의 m에대해서 (x, y>0) x^m항은 항상 0보다 크게 된다. 따라서 앞서 특성방정식을 유도한 것과 동일한원리로, m에 대한 2차 방정식으로 특성방정식이 유도된다. 따라서 특성방정식은 다음과 같다.

오일러-코시 방정식의 특성방정식

마찬가지로 m에대한 2차 방정식은 계수에 따라서 서로 다른 실근, 실이중근, 공액복소근(서로 다른 허근)으로 결정된다. 중첩의 원리를 동일하게 적용하여 다음과 같이 다른 형태의 일반해가 결정된다. 근의 판별은 m에 대한 2차 방정식의 판별식으로 판단할 수 있을 것이다.

 

1. 2개의 실근을 가질 때(m1, m2)

2. 중근을 가질때(m1)

3. 복소근 2개를 가질 때(서로 다른 복소근)

앞서배운 상수계수를 갖는 선형 ODE일 때와는 다른 형태의 일반해가 결정되는 것을 확인할 수 있다. 특히 x대신에 lnx가 각 일반해에 포함된다는 것이 특징적이다. 하지만 오일러-코시 방정식에서의 복소근이 존재하는 경우는 공학적 의미가 없을뿐더러 실용성이 없다고 알고 있다. 하지만 참고 삼아 알아두는 것도 나쁘지 않다고 생각한다.