[공학수학1] Laplace Transform (2)-제 1이동정리

이번에는 라플라스 변환의 기본적인 정리인 제 1이동정리(s이동정리) 에대해서 알아보자. 이동정리라고 해서 거창하게 생각할 필요가 전혀 없다. 그냥 단순하게 어떤 형태를 라플라스 변환하면 변환식이 a만큼 평형이동이 되는가에 대해서 정리해놓은 이론이다. 그럼 지금부터 한번 정리해 보자.

라플라스 변환의 정의

위와 같이 라플라스 변환이 된다고 저번에 알아보았다. 여기서 만약 변환결과식 F(s)가 a만큼 평행이동된 변환식 즉, F(s-a)가 결과식이 되기 위해서는 어떻게 식을 변형해야 될까? 당연히 s대신에 s-a를 넣어주면 식은 동일하게 성립하고 우리가 원하는 변환식의 결과를 얻을 수 있을 것이다. 따라서 다음과 같이 식이 성립한다.

제 1이동정리(s-이동정리)

s 대신에 s-a를 대입하였더니 exp항에 a항이 추가되어서 라플라스변환식의 피적분함수가 변화하는 것을 확인할 수 있다. 즉, a만큼 평행이동의 변환결과식이 나오려면 피적분함수(변환 전의 함수)가 exp(at)가 곱해진 형태로 나온다는 것을 정의에서부터 도출해낼 수 있다. 따라서 1 이동정리를 다시 정리해보면 다음과 같다.

위와 같이 라플라스변환과 역변환의 정의를 이용해서 식을 일반화할 수 있다. 즉, 원함수나 결과함수를 알면 라플라스변환의 정의를 이용해 변환식 또는 원함수를 추정할 수도 있다는 것을 직관적으로 알 수 있다. 예시를 한번 들어보자

코사인함수를 라플라스변환을 하면 다음과 같다. 여기서 exp(2t)항이 붙은 함수를 라플라스 변환해 보면

이렇게 이동정리를 이용해서 이미 알고 있는 변환식에 s대신 s-2를 대입해 쉽게 변환결과식을 도출해낼 수 있다.