[공학수학1] Laplace Transform (3)-unit step function/unit impulse function

제 2이동정리를 알아보기 전에 이번에는 단위계단함수(unit step function), 디랙 델타함수(unit impulse function)에 대해서 한번 알아보자. 이 두 함수는 라플라스변환과는 직접적인 관계는 없지만 제 2이동정리를 설명하기 위해서 함수의 개념이 사용되기 때문에 이렇게 먼저 설명한다. 특히 이 두 함수의 경우에는 공학에서 매우 중요하며 후에 신호처리나 회로의 해석, 통신 분야에 필수적으로 사용되기 때문에 꼭 제대로 정리를 하고 넘어가는 것이 중요하다고 생각된다. 

 

1. 디랙 델타 함수(Dirac delta function/unit impulse function)

1.1 델타함수의 정의

먼저 델타함수가 어떤함수인지 알아보자. 흔히 임펄스함수라고도 부르며 이는 호칭의 차이일 뿐 의미는 동일하다. 이 함수는 t=0일 때 무한대의 값을 가지며 나머지 모든 t에 대한 함숫값은 0이 되는 함수이다. 수학적으로 엄밀히 따지면 함수는 아니지만 공학에서는 함수로 정의한다.

델타함수의 정의

또한 이함수를 전구간에서 적분하면 적분값이 1이 된다는 특성을 가지고 있다.

그래프상에서는 무한대를 표현하기 위해서 화살표로 그래프를 나타낸다. 적분은 그래프가 만드는 부호가 있는 넓이이므로, 해석할 때 가로축은 0에 가깝고 세로축은 무한대이기 때문에 적분값이 1이 된다고 이해하면 그나마 납득할 수 있을 것이다. 물론 이해를 돕기 위한 설명일 뿐 정확하지는 않다.

 

1.2 델타함수의 평행이동과 대칭성

이번에는 델타함수의 평행이동과 대칭성에 대해서 알아보자. 델타함수의 평행이동 역시 t대신에 t-a를 대입해서 중심이 a인 평행이동 함수를 구현할 수 있다.

중심이a인 델타함수

평행이동을 통해서 0인값이 아닌 a값에서 함숫값이 무한대인 델타함수로 일반화할 수 있다. 이는 공학에서 시간이 어떤 특정한 시간대 a에서 신호가 들어왔을 때 함수가 유의미하다는 것을 의미한다. 같은 방법으로 델타함수의 대칭성을 증명해 보자.

위와 같이 t 축에서 x만큼 이동한 델타함수와 x축에서 t만큼 이동한 델타함수를 생각해보면 다음과 같이 함수의 특성이 동일하게 나타난다는 것을 알 수 있다. 이는 곧 함수가 대칭성을 가지고있다는것을 의미한다. 즉, 델타함수를 대칭함수인것을 알수있다.

 

1.3 델타함수의 라플라스 변환

델타함수를 라플라스변환을 하면 어떻게 나타날까? 라플라스 변환 정의에 의해서 다음과 같이 나타난다.

델타함수의 라플라스 변환

라플라스변환의 정의와 델타함수정의를 이용하면 델타함수를 라플라스변환하면 1이 된다는 것을 쉽게 알 수 있다. 특히 이 라플라스 변환값이 1이 된다는 것을 이용해서 이동정리의 개념이 정립되고, 후에 다른 신호처리나 통신분야에서도 많이 쓰이므로 꼭 기억해 두자.

위와 같이 평행이동된 델타함수를 이용해서 우리가 모르는 함수 f(t)에 대한 적분값을 a값에 대한 함숫값으로 표본을 샘플링할 수 있다. 특히 공학에서는 실험을 통해서 원함수를 정확히 알 수 없는 경우가 많으므로 델타함수를 곱해서 적분한 방법으로 표본을 추출하는 과정이 많이 사용되고 있다.

 

2. 단위 계단 함수(unit step function)

2.1 계단함수의 정의

이번에는 단위계단함수에 대해서 알아보자. 계단함수는 델타함수와 마찬가지로 t=0에서 불연속인 분포를 가진다. t=0에서의 함숫값은 0,1,1/2로 총 3가지의 경우로 나뉜다. 각각의 함수값으로 주장하는 학자들이 많고 계단함수를 어떻게 표현하냐에 따라서 다르기 때문에 t=0에서의 함수값은 문제에서 주어진 대로 해석해면 되겠다.

단위계단함수의 정의

단위계단함수는 중심(t=0)을기준으로 중심보다 큰 구간은 함숫값이 1이고 중심보다 작은 구간은 0으로 분포하는 특수함수이다. 이 역시 신호처리분야에서 많이 사용되며 t=0일 때 신호가 입력된다는 것에서 공학적인 의미를 가진다. 이 계단함수는 델타함수와 미분, 적분관계를 가지는데 다음과 같은 관계식이 성립한다. 

위와 같이 델타함수를 적분하면 계단함수가 된다. 델타함수의 전구간적분값이 1인사실을 알고 있다면 이는 직관적으로 알 수 있는 사실이다.

 

2.2 계단함수의 평행이동

마찬가지로 델타함수와 동일하게 t=0이 기준점이 아닌 t=a의 기준으로 함수의 분포를 만들고 싶다면 t 축을 기준으로 a만큼 평행이동시켜주면 된다.

기준점이 t=a인 단위계단함수

2.3 계단함수의 라플라스 변환

마찬가지로 라플라스 변환의 정의를 이용해서 계단함수를 변환해 보자

기준점이 a인 단위계단함수를 라플라스변환의 정의를 이용해서 적분해보면 다음과 같이 식이 나타난다. 만약 a=0인경우에서는 분자값이 1이 되어서 간단하게 1/s가 된다는 것을 알 수 있다. 이와 같은 성질은 공학에서 on, off와 같은 함수를 구현하는데에서 사용되며 제 2이동정리에서도 사용되는 개념이므로 꼭 알아두자.