[공학수학1] 거듭제곱 급수해법

이번에는 거듭제곱 급수해법에 대해서 한번 알아보자. 저번에는 미분방정식을 보다 쉽게 다룰수있도록 s영역의 방정식으로 바꾸어서 미분방정식을 다루었다. 이렇게 s영역으로 바꾸는 과정을 라플라스 변환이라고 배웠다. 이번에는 변수계수를 갖는 선형상미분방정식의 풀이를 위한 표준적인해법인 거듭제곱 급수해법에 대해서 알아보자. 특히 이번방법은 라플라스 변환에서도 해법이 되지않는 공식에대해서 유의미하며 변수가계수인 방정식을 어떻게풀어야하는지에 목적을 가지고있다.

 

-테일러 급수(Taylor series)

앞서배웠던 테일러 급수에 대해서 간단히 다시알아보자. 테일러 급수란 어떤도함수들의 한점에서의 값으로 계산된 항의 무한항의 급수로 해석함수를 나타내는 방법이다. 즉 어떤 해석함수를 다항함수들의 합으로 나타내는 방법이다. 

테일러 급수의 정의

우리는 이러한 성질을 이용해서 어떤 해석함수(원함수)를 테일러 급수형태로 나타내고 각 항들의 계수를 구해서 최종적인 계수를 구하는 방법으로 해석함수를 결정하는 과정을 배워보자.

중요한 급수식

과정을 배우기전에 먼저 중요하고 많이 사용되는 급수식을 알고 넘어가자 위 4개의 급수식은 굉장히 많이 쓰이는 급수식이므로 꼭 암기를해서라도 알고 넘어가자. 이 공학수학 과목뿐만아니라 다른 전공과목에서도 많이쓰이는 급수식이므로 알아두면 굉장히 수월하다. 

 

-거듭제곱 급수법

거듭제곱 급수법에 사용되는 미분방정식의 기본적인 형태에 대해서 먼저 알아보자. 거듭제곱급수법은 앞서 설명한것과 동일하게 y에대한함수를 직접구할수 없기때문에 y의 급수형태로 먼저 나타낸후 급수의 계수를 구하는 방법으로 y의 원함수를 결정하는것이 핵심이다. 따라서 y의 급수형태를 먼저 정의해야한다.

거듭제곱의 기본적인 형태

여기서 미분한 급수형태의 급수시작항을 주의하자. y의 도함수는 급수시작항이 m=1에서 시작하고 y의 이계도함수의 급수시작항은 m=2에서 시작한다. 미분을 할수록 시작항이 1씩 늘어나는것을 확인할수 있다. 거듭제곱의 식을 미분방정식에 대입할때 특히 주의하자. 이러한 특성때문에 주어진 미분방정식에 대입하는 과정에서 급수합의 시작항을 계산할수있게 바꾸어주는 작업이 필수적이다. 다음과 같은 예시를 한번보자.

가장 간단한 미분방정식을 거듭제곱방법을 이용해 한번 풀어보자. 우리는 ce^x가 이미 원함수인것을 알고있지만 다른방법으로 풀었을때도 같은답이 나오는지 한번 확인해보자. 

위와같이 급수식을 x의지수가 가장 큰것을 기준으로 맞추어주고, x로 정리해서 항등식을 유도한다. 따라서 항등식의 성질을 이용해서 수열(계수)에 대한 점화식을 유도할수있다.

위와같이 특정항에대한 계수식이 발생한다. 우리가 구하고자 하는식은 일반항이므로 각각의 case를 대입해서 항등식을 유도한다음에 모두 곱해주면 일반항이 유도된다. 따라서 일반항은 다음과 같다.

일반항의 결과식

따라서 최종적인 y의해를 적어보면 다음과같다(급수식에 일반항을 대입)

우리가 알고있는 식으로 exp항이 원함수로 결과가 나온것을 확인할수있다. a0는 첫항이지만 상수값으로 우리가 일반적으로 중첩의원리에 사용되는 상수항과 동일하게 취급될수있다. 따라서 상수*exp(x)로 동일한결과가 나왔다.