[공학수학1] Laplace Transform (4)-제 2이동정리

저번에 알아보았던 델타함수와 계단함수를 이용해서 제 2이동정리를 한번 알아보자. 앞서 배웠던 1 이동정리는 출력함수 F(s)의 평형이동에 대한 이동정리였다. 하지만 제2 이동정리는 입력함수에 대한 평행이동을 하면 라플라스변환이 어떻게 변할 것인가에 대한 정리이다. 마찬가지로 라플라스 변환의 정의를 이용해 평행이동된 입력함수를 직접 라플라스 변환해 보자.

앞서 설명한 내용을 기반으로 다시 설명하자면, f(t-a)는 f(t)를 t 축을 기준으로 a만큼 평행이동한 것이고 f(t) 함수에 u(t)를 곱했다는 의미는 0초 이후의 신호만 해석하기 위해서 계단함수를 피변환함수와 곱해서 라플라스 변환한다. 즉, 각각의 함수를 a만큼 평행이동 하면 f(t-a) u(t-a)가 되며 이 함수가 공학적으로 의미하는 것은 시간 t=a초 이후에 입력된 신호만 해석하겠다는 의미이다. 따라서 적분식을 보면 계단함수의 정의에 의해 적분의 하한이 a로 바뀐 것을 확인할 수 있다. 이 함수를 계속 정리해 보자.

 

t-a=k로 치환해서 위와 같이 적분식을 정리할 수 있다. 치환적분법을 이용해서 구간을 다시 0으로 맞추어주고 풀면 우리가 저번에 정리했던 라플라스변환식이 그대로 나오게 된다. 따라서 평행이동에 대한 적분식이 F(s)에 exp(-as)가 붙어있는 형태로 변환식이 나온다. 이와 같은 특성에서 제2 이동정리는 역라플라스변환 시에 유용하게 사용된다. 예시를 한번 들어보자.

두 번째 항을 보면 exp(-2*pi*s) 의항이 있는 것을 확인할 수 있다. 이러한 형태를 전개를 해버리면 적분식이 매우 복잡해지면서 역변환이 제대로 안될 수도 있다. 하지만 역라플라스변환 시에 제2 이동정리를 이용하여 평행이동식을 유도해보면 쉽게 역변환이 가능하다.

위와 같이 라플라스 변환 이동정리를 이용해 비교적 간단하게 역변환을 할 수 있다. 마찬가지로 u(t-a)가 붙는 이유는 t=a초이전에 실험적인 데이터는 알 수 없기 때문에 함수를 0으로 만들어주는 일종의 공학적인 장치라고 생각할 수 있다. 즉, 실험기준시간만큼 함수를 평행이동해서 해석하는 데에 문제가 없게 만들어준다는 것에서 이 이동정리는 매우 유용하다. 특히 복잡한 역변환식을 간단하게 할 수 있기 때문에 이 이동정리는 꼭 알아두자.