[공학수학1] 프로베니우스 해법

이번에는 프로베니우스 해법에 대해서 알아보자 거듭제곱급수와 비슷하지만 약간 다른 방법이다. 급수를 이용한다는 것은 동일하지만 과정과 형태가 약간 다르다. 프로베니우스 해법의 개념은 거듭제곱해법의 개념보다 상위개념이라고 알아두면 이해하기에 편하다. 즉, 프로베니우스 해법의 부분집합이 거듭제곱해법이라고 이해해 두자. 거듭제곱으로 풀리지 않는 미분방정식을 프로베니우스 해법으로 풀 수 있기 때문에 확장된 거듭제곱급수라고 개념이라고 이해하자.

형태의 변형

먼저 프로베니우스 해법을 적용하기위해서는 다음과 같이 식의 형태를 변화해서 해석해야 한다. 그다음 b(x), c(x)를 이용해서 우리가 원하는 계수를 찾는 과정을 한번 살펴보자.

위와 같이 구해야 하는 계수와 기본형에 따라서 어떤 해법이 쓰이는지 판단될 수 있다. 거듭제곱방법은 일반항을 구하면 되지만 프로베니우스 해법은 r까지 모두 구해야 식이 결정되는 것을 확인할 수 있다. 당연하게도 r=0이면 거듭제곱급수법과 동일한 형태가 되는 것을 알 수 있다. 

r을 구하기위한 결정방정식

결정방정식에서 각각의 계수 b0,c0는 수열의 첫항을 의미하며(테일러급수 계수)이 첫항들이 r의 값을 결정한다. 결정방ㅇ정식의 유도과정은 복잡하기 때문에 생략하겠다. 마찬가지로 r을 구해서 기본형 급수를 결정한 다음 주어진 미분방정식에 대입해서 일반항을 결정한다. 위 식이 2차 방정식이므로 r값이 2개가 나오는데 보통 큰 r값을 선택해서 문제를 해결한다.

거듭제곱방법과는 다르게 y의미분급수형태도 시작항이 달라지지않는것을 주목하자. 실제로 r에 대한 급수로 일반화하였기 때문에 상수항이 0이 되는 거듭제곱방법과는 다르게 미분을 해도 급수의 첫항은 변하지 않는다. 거듭제곱방법과 헷갈리지 않도록 주의하자. 예제를 통해서 한번 적용해 보자.

큰 r값으로 사용해야 하므로 r=3/2를 선택해서 급수해를 결정한다.

결정한 r로 급수식을 결정하고 이 급수식을 주어진 미분방정식에 대입하면 x에 대한 항등식이 나오는데 x의 지수에 따른 항으로 나뉜다.

다음과 같이 일반항의 점화식을 유도할 수 있다. 마찬가지로 점화식을 통해서 am의 일반항을 같은 방법으로 유도해 보자.

점화식에서 따로 소거되는 항이 없기 때문에 a0의 항으로 나타내면 다음과 같다.

따라서 각각의 항으로 표현된 y의 기저 y1은 다음과 같이 나타난다.

급수해로 결정된 y의 기저

y1은 결정방정식에서 구한 첫 번째 r의해 r=3/2일때의 급수해가 첫번째 기저로 결정되고, 마찬가지로 r=0일 때 동일한 방법으로 다음과 같이 두 번째 기저 y2를 결정할 수 있다.

기저의 급수해