[공학수학1] 합성곱 정리(Convolution)

이번에는 합성곱정리(Convolution)에 대해서 한번 알아보자. 컨볼루션 적분은 공학수학을 배울 때는 크게 개념이 많이 사용되지 않지만 다른 전공에서 정말 자주 나오는 개념 중에 하나이다. 이 시기에 정확히 개념을 잡지 않으면 나중에 더 어려운 전공개념이 이해가 되지 않는 상황이 생길 수 있다. 나 역시 그랬으니... 따라서 기본적인 원리 및 개념과 어떤 공학적인 의미를 가지고 있는지 천천히 살펴보자.

 

1. 합성곱의 정의

합성곱의 정의

합성곱은 다음과 같이 적분식으로 정의된다. 수학적인 의미는 다음과같다.하나의 함수를 타우축에 대해서 반전(reverse)시킨다. 그다음 t만큼 평행이동 시킨 뒤, f(타우)와 곱한 결과를 계속 더해나가는 방법이다. 이때 타우는 dummy variable으로 실제 적분을 하기 위해서 도입한 변수이기 때문에 원함수에는 영향을 미치지 못한다. 하지만 타우값이 변하면서 적분값이 하나씩 더해지는 것이므로 적분의 기준축은 타우임을 직관적으로 알 수 있다. 정리하자면, 어떤 함수를 타우축을기준으로 반전시키고 t만큼(Time shift) 평행이동 시켜서 다른 함수와 곱한 결괏값을 계속 더해나가는 과정이다. 위 정의식에서는 g(t)가 반전되고 평행이동되었다고 말할 수 있겠다. 이러한 합성곱은 새로운 연산자로 취급되며 함수연산에서 새롭게 정의되는 연산이다. 물론 함수뿐만 아니라 이산적인 데이터에도 적용이 가능하지만 대부분함수에서 많이 사용되는 연산자이다.

출처:위키피디아

위와 같이 함수가 움직이면서 적분값이 정해진다는 것을 시각화하였다. 노란색 부분이 컨볼루션 적분값이 된다는 것을 알 수 있다. 빨간색박스는 앞서 정의에서 설명했던 g함수이고, 반전과 평행이동된 함수인 사각파로 표현되었다. 실제로 신호처리나 영상분야에서 input에 대한 output을 설명할 때 전달함수와 연결 지어서 컨볼루션 적분의 개념이 사용된다.

 

2. 라플라스변환과 합성곱

이번에는 변환과 합성곱이 어떤관계가 있는지 한번 알아보자. 합성곱은 함수의 새로운 연산이므로 일반적으로 계산하는 데에 시간이 오래 걸릴뿐더러, 직관적으로 파악하기 힘들다는 단점이 있다. 그래서 우리는 또 라플라스변환을 이용해서 이러한 합성곱의 과정을 좀 더 쉽게 만들 수 있다. 합성곱의 과정은 라플라스변환을 취하면 일반적은 곱하기과정으로 변환된다. 다시 말하면 시간영역(t-domain)에서의 합성곱은 s영역(s-domain)에서는 단순히 함수의 곱셈으로 연산이 바뀐다는 것을 의미한다. 후에 다시 언급하겠지만 이러한 과정은 푸리에변환에서도 동일하게 적용된다. 수식으로 한번 확인해 보자.

이렇게 두 함수를 가정해 보자. 그러면 합성곱의 결과는 다음과 같다.

이렇게 정의를 이용한 적분식으로 합성곱의 결과를 알 수 있다. 이 식을 라플라스 변환해서 적용해 보자.

컨볼루션 적분식을 라플라스변환하면 다음과 같이 분수식이 나온다. 이때 라플라스 연산자의 선형성을 이용해서 좀 더 쉽게 식정리가 가능하다.

위에서 구한 식에서 분수를 통분해서 최종결과식이 나왔다.

분수형태를 자세히 보자. 우리가 일반적으로 라플라스변환식에서 사용하는 일차함수와 exp함수의 변환식의 곱으로 이루어져 있는 것을 직관적으로 알 수 있다. 실제로 변환식을 대입해보면 다음과 같이 식이 정확하게 성립하는 것을 확인할 수 있다. 따라서 시간영역(t-domain)에서의 합성곱은 s영역(s-domain)에서는 단순히 함수의 곱셈으로 연산이 바뀐다는 것을 예제를 통해서 간단하게 확인해볼 수 있다.