[공학수학1] 르장드르 방정식

이번에는 르장드르 방정식에 대해서 알아보자. 이 상미분방정식은 물리학에서 많이 사용되며 특히 구에대한 경계값문제를 해결하는데에 유용하다. 마찬가지로 특수한형태인 상미분방정식이 주어졌을때 어떻게 해결할건인가에 초점을 맞추어서 한번 알아보자.

르장드르 함수식의 기본형

위와 같은 형태가 주어졌을때 주어진 방정식의 해를 어떻게 구해야 할까? 위와같은 방정식의 형태는 일반적인 방법으로는 쉽게 풀리지않는다. 따라서 형태에 따라서 정형화된 해법을 숙지해서 방정식의 해를 좀더 쉽게 구하는것이 목적이다. 위와같은 방정식의 해를 pn(x)라 할때, n에 따른 방정식에 해는 다음과 같이 나타난다.

n에 따른 다항식해의 변화

이런식으로 n에따라서 다항해가 나오는것을 확인할수있다. 이 식을 전부 외울필요성은 딱히 없는것같다. 그냥 상황에 맞게 n이 정해지면 그떄그떄 찾아보는것이 좀더 효율이 좋은것같다. 

n에 따른 르장드르 함수식의 그래프

르장드르방정식의 해를 구하는 방법은 그떄그떄 찾아보는 방법도 있지만 좀더 직관적으로 n에대한 공식을 이용해서 구하는 방법도 존재한다. 바로 로드리게스 공식을 이용하면 쉽게 방정식의 해를 구할수있다.

로드리게스 공식

이 로드리게스 공식을 이용해 n에대한 방정식해를 쉽게 구할수있다. n=1,2...를 넣어보면 위의 주어진 방정식의 해와 동일하게 식이 나오는것을 확인할수 있다.