[공학수학2] 푸리에급수(Fourier Series) (2)

이번에는 좀 더 일반적인 푸리에급수에 대해서 알아보자. 이전에는 주기가 2pi인 함수에 대해서 계수 공식을 유도했는데 이번에는 2pi가 주기가 아닌 함수에 대해서 푸리에급수가 어떻게 되는지 한번 알아보자.

주기 p=2L의식에서 L에 대한 식으로 계수식이 유도되는 것을 확인할 수 있다. 특히 구간연속인 함수가 존재할 때 주어진 계수식은 유의미하다고 볼 수 있다. 푸리에급수에 대한 파세발항등식도 많이 쓰이는 항등식이다. 특히 특별한 형태의 수열을 찾을 때 많이 사용되며 등식의 성질을 이용한 무한수열의 값을 구하는 과정 또한 중요하게 사용된다.

주어진 문제를 계수식을 이용해서 풀어봤더니 다음과 같이 나왔다. 특히 n에대한 수열로 함수식이 유도되었으며 n이 홀수일 때만 값을 가지는 것이 특징이었다. 홀수에서도 1.5.9... 와 3.7.11....로 식이 나누어졌다. 이러한 방법으로 주어진계수식을 n에 대한 식으로 나타내는 것이 중요하며 n=1.2.3... 을 대입해서 규칙을 찾아내는 것이 핵심이다.

함수의 성질(짝함수,홀함수)를 이용해서 계수식을 좀 더 간략화할 수 있다. 짝함수일때와 홀함수일 때 계수식이 하나는 0이 돼서 좀 더 구하기 쉬운 형태로 바뀐다. 실제로는 푸리에 급수식을 무한번 더할 수 없기 때문에 충분히 큰 수 N을 통해서 근사한다. 이 식을 통해서 오차 식 또한 적분식으로 구할 수 있다. 그리고 직교성을 이용한 크로네커 델타를 정의할 수 있다. 이 델타는 m=n을 중심으로 갖는 델타함수로 정의될 수 있다.