[공학수학1] 미분방정식의 소개

1. 미분방정식

미분방정식의 형태에는 여러가지 형태가 존재하지만 크게 분류할수있는 기준이 존재한다. 

여러가지 기준중에 가장 대표적인 기준은 상미분방정식과 편미분방정식 그리고 선형미분방정식과 비선형미분방정식이 존재한다. 

기준에 따른 미분방정식의 명칭

이와 같이 미분방정식의 형태를 기준에 따라서 분류할 수 있다. 이때 ~계 라고 하는 n계는 각 미분방정식의 최고미분횟수의 항을 뜻한다. 일반적으로 y에 대한 미분항만 포함되면 상미분방정식(ODE)라고 명칭하고, 그외에 다른 변수에 대한 미분항이 추가로 포함될 경우에는 편미분방정식(PDE)라고 명칭한다.

 

2. 미분방정식에서의 계수와 차수

(A)미분방정식에서의 계수(order)

미분방정식에서의 계수는 방정식에 존재하는 미분항 중에서 가장 큰 미분횟수에 해당한다. 즉 미분방정식에 존재하는 y의 함수가 가장 큰 미분항이 3계도 함수이면, 3계 미분방정식이라 부른다. 

3계 미분방정식의 예시

위와 같이 y의 미분의 계수가 3계도함수가 포함되어 있으므로, 주어진 미분방정식은 3계 미분방정식이라고 명칭할수 있다.

 

(B)미분방정식에서의 차수(degree)

미분방정식에서의 차수는 방정식에 존재하는 미분항 중에서 계(order)를 결정하는 미분항의 거듭제곱 횟수를 의미한다. 즉 계수를 결정하는 y항이 얼마나 곱해져 있는지를 의마하는 것이 미분방정식의 차수를 결정한다. 

차수가 3인 미분방정식

앞서 소개한 3계 미분방정식에서 만약 y의 3계도함수가 3번 곱해져 있는 상태라면 이 미분방정식은 차수가 3인것이라고 해석할수 있다. 이처럼 계수와 차수는 미분방정식의 특성을 나타내는 숫자로 표현될수 있다는것이 특징이며, 숫자가 클수록 미분방정식의 풀이가 복잡하는것이 일반적인 생각이다.

 

3. 선형/비선형 미분방정식

(A)선형 미분방정식

선형(linear)의 의미는 1차식의 형태로 나타낼수 있다는것을 의미하며, 이는 그래프상에서 일직선형태로 나타나기 때문에 '선형'이라고 주로 말한다. 가령 미분방정식에서의 선형은 y와 y의 도함수(y')에 대해서 1차식의 형태로 나타난다면 우리는 이를 선형미분방정식이라고 정의한다.

 

선형 미분방정식의 예시

위와 같은 미분방정식의 형태를 선형미분방정식이라고 하며, 비선형의 형태보다 비교적 풀이가 간단하고 해석하기 수월하다는 특징이 있다. 특히 선형의 특징을 가지는 미분방정식은 공학적인 의미가 매우 중요하므로, 잘 알아두어야 할 필요성이 있다고 생각한다.

(B)비선형 미분방정식

비선형(Non-linear)의 의미는 말그대로 선형의 형태를 가지지 않는다는 것을 의미하며, 비선형 미분방정식은 선형미분방정식이 아닌 미분방정식을 비선형 미분방정식이라고 부른다. 즉, y의 함수와 그 도함수가 1차식의 형태로 나타낼수 없는 미분방정식을 비선형 미분방정식이라고 부르고, 이 미분방정식을 푸는것은 매우 복잡하고 해석이 힘들다.

비선형 미분방정식의 예시

4. 제차/비제차 미분방정식

제차(homogeneous)와 비제차(Non-homogeneous)는 식의 형태에 따른 명칭이다. 제차는 ~=0으로 만들수있는 미분방정식을 의미하며, 비제차는 ~=0으로 만들 수 없는 방정식을 의미한다. 

위 미분방정식에서 우변을 결정하는 요소인 식은  q(x)라는것을 직관적으로 알수 있다. 즉, q(x)에 따라서 미분방정식은 제차와 비제차로 결정된다는것을 알 수 있다. 따라서 q(x)=0 이면 주어진 미분방정식은 제차 미분방정식이 되고 0이 아니면 주어진 미분방정식은 비제차 미분방정식이 된다.