[공학수학1] 2계 제차상미분방정식(1)

이번에는 2계 상미분방정식에 대해서 알아보자 2계 미분방정식에서도 마찬가지로 여러 가지 형태가 존재하는데, 각 형태에 따라 다양한 풀이법이 존재한다. 각 형태에 따라서 풀이법을 한번 알아보자.

일반적인 2계 미분방정식의 형태(선형)

위와 같은 일반적인 y에 대한 2계 미분방정식의 형태는 다음과 같이 나타난다. 일반적으로 선형시스템에 대해서 미분방정식을 해석하게 되며, 선형이 아니면 방정식을 간단하게 해석하기 힘들다. 따라서 지금부터 다루는 미분방정식은 오직 선형시스템에서만 다루겠다. 이때 사용된 p(x), q(x), r(x)는 모두 x에 대해서만 이루어진 식이며, 이는 오직 x에 대한 식임을 의미한다. 1계 미분방정식과는 다르게 2계 미분방정식부터는 2개의 기저(해)를 가지게 된다. 2차 방정식에서 2개의 해가 존재하는 것과 비슷한 원리이다. 지금 다루는 상미분 방정식을 제차 상미분방정식 이므로 r(x)=0 인경우를 고려하여 접근해 보자.

 

#기저(basis)와 일반해(general solution)의 개념

기저: '어떤 벡터공간 V의 벡터들이 선형독립이면서 벡터공간 V 전체를 생성할 수 있다면 이 벡터들의 집합'이라고 정의되어 있다. 단순하게 말해서 어떤 해를 구성하기 위한 가장 기본적인 구성이라고 말할 수 있다.

일반해: 풀이법을 이용해 구한 기저를 이용해 중첩의 원리를 적용해서 일반해를 구할 수 있다. 

중첩의 원리

위와 같이 2계 미분방정식의 일반해는 2개의 기저와 임의의 상수 c1, c2의 일차결합으로 나타난다. 이는 미분방정식의 해의 특성이며, 고계 미분방정식의 해역시 이와 같은 중첩의 원리를 적용해서 해가 나타난다. 각각의 상수는 임의의 상수이며 초기값과 같은 조건을 통해서 상수가 결정되면 특수해로 정해지는 특성이 있다.

 

1. 하나의 기저를 알고 있는 경우(계수내림:reduction of order)

앞서 설명했던 두 개의 기저(y1, y2) 중에 만약 y1을 알고 있는상태라면 비교적 쉽게 미분방정식을 풀수 있다. 2차방정식에서 한개의 근을 알고있을때 그 근을 이용해서 다른근을 구할 수 있는것과 동일하게 미분방정식에서도 동일하게 나머지 기저를 구할수 있다. 이때 나머지 기저가 알고있는 기저의 성분을 포함하고 있다는 가정하에 나머지 기저를 쉽게 공식을 이용해서 구할수 있다. 근을 미분방정식에 넣으면 자명하게 식이 성립해야 하므로 다음과 같은 식이 성립하게 된다. 이 성질을 이용해 나머지 기저를 구하는 공식을 유도해 보자.

기저를 대입해 u에대한 미분방정식 유도

위와 같이 기저를 대입하면 미분방정식이 성립한다는 성질을 이용해서 u에 대한 새로운 미분방정식을 유도했다. 이 u에 대한 미분방정식을 풀어보면 다음과 같다.

계수내림을 이용한 공식의 유도

약간 복잡해 보이지만 천천히 식을 따라가다 보면 이전에 배웠던 변수분리법을 이용해서 식을 정리한 것뿐이다. 이렇게 하나의 기저를 알 때 다른 기저를 공식을 통해서 유도해볼 수 있으며, 실제로는 직접 유도해서 문제를 풀기보다는 공식을 암기해서 문제를 푸는 것이 훨씬 수월하고 시간을 절약할 수 있는 방법이다. 이 방법은 미분방정식의 계수를 내려서 푸는 방법이라고 해서 '계수내림'이라고 부른다. 공식을 정리해보면 다음과 같다.

계수내림의 공식정리