[공학수학1] 1계 상미분방정식(1)

앞서 소개한 여러가지 미분방정식 중에서 제일 간단한 1계 상미분방정식의 풀이를 살펴보자

1계 상미분방정식의 대표적인 풀이법에는 변수분리법이 있다.

 

1. 변수분리법

변수분리법은 말그대로 변수를 좌변과 우변에 분리시켜서 양변을 적분한뒤, 미분방정식의 원함수를 유도하는 과정이다.  y'을 dy/dx 로 바꾸어주고 y에 대한 함수식은 좌변에(혹은 우변) x에 대한 함수식은 우변에 정리한다. 그리고 양변을 적분해주면 우리가 구하고자 하는  y에 대한 식이 나오게 되어서 미분방정식의 원함수를 구할 수 있다.예를 들어보면 다음과 같이 미분방정식을 풀이 할 수 있다.

변수분리법을 이용한 풀이

위의 방정식은 y'=y에 대한 비교적 간단한 미분방정식을 변수분리법을 이용해서 풀이한 것이다. 직관적으로 보았을때 미분했을때 도함수가 원함수와 같아지는함수는 exp지수 함수라고 쉽게 추측할수 있지만 막상 수학적으로 풀이를 적어보라고 하면 잘 접근하지 못한다. 양변을 적분하면 적분상수가 생기는데 이 적분상수는 어차피 상수이므로 양변에 상수가 생기는것을 한번에 정리할수 있다. 따라서 최종y식은 상수계수가 존재하는 exp함수가 된다는것을 식을 통해 알 수 있다.

 

2. 변수분리법(간단하게 변수분리가 되지 않을때)

변수분리법은 x와 y의 함수식을 분리를 간단하게 할 수 있을때 풀이가 간단하게 될 수 있는데, 미분방정식에 형태에 따라서 간단하게 분리가 되지 않을 수 있다. 이때는 반복되는 구조를 찾거나 특정형태를 다른변수로 치환해서 변수분리법을 적용할 수 있다. 예시를 들어보자

치환을 이용한 변수분리법의 적용

위와 같이 변수분리법을 바로 적용할 수 없는 형태의 식과 같은 경우에는 특정한 형태를 치환해서 매개변수를 이용해서 풀기쉬운 형태로 미분방정식을 재정의 한 뒤에 미분방정식을 풀이한다. 위의 경우는 y/x=a라고 치환하여 a에 대한 미분방정식을 새롭게 정의해서 변수분리법을 이용해 a에 대한 미분방정식의 해를 구한뒤, 다시 치환한 a를 x,y에 대한 식으로 바꾸어서 미분방정식을 풀이를 한 예시이다. 결과적으로 식을 정리해보면 평행이동한 원의 방정식의 형태가 해로 나오는것을 확인할 수 있다.