[공학수학1] 1계 상미분방정식(3)

이번에는 완전상미분방정식의 형태로도 풀리지 않는 미분방정식의 해법을 알아보자

즉, 완전상미분방정식이 성립하지않을때 어떤 식으로 방정식을 풀어야 할까?

위와 같이 완전상미분방정식의 필요충분조건이 성립하지않을때는 이전에 소개한 방법을 사용할 수 없다. 따라서 이떄는 완전상미분방정식으로 만들어주기 위한 '적분인자'라는 개념을 도입해야한다. 적분인자는 필요충분조건이 성립하기위해서 양변에 곱해야하는 식을 의미하며, 이는 일반적으로 F라고 사용한다.

위와 같이 적분인자F를 곱해서 완전상미분방정식의 형태로 만들어주어서 미분방정식을 풀 수 있다. 하지만 적분인자 F를 알아내는것은 쉬운과정은 아니다. 그래서 이를 공식화 해서 나타내는것이 풀이에는 좀더 도움이 될 수 있다. 유도과정은 복잡하기 때문에 생략하겠다.

위와 같이 적분인자를 곱한 식을 새롭게 정의하여 정리하기 쉬운 형태로 다시 식을만든다. 위식을 기준으로 공식이 존재하는데 함수의 특징에 따라서 다른공식을 적용해야함을 주의하자

R(x,y)가 x만의 함수일때

R(x,y)가 y만의 함수일때

위와같이 R(x, y) 함수가 x만의 함수일 때, y만의 함수일 때 다른 공식이 적용되며 각 상황에 따라서 공식을 적용할 수 있다. 적분인자를 사용하는 예제를 한번 살펴보자.

공식을 이용해 적분인자를 찾는 과정

앞선 공식에 따라서 R(x)가 x만의 함수이기 때문에 첫 번째 공식을 주어진 미분방정식에 적용해보면 다음과 같다. 따라서 적분인자 또한 x만의 함수로 나오는 것을 확인할 수 있다.

미분방정식의 해

적분인자를 구했기 때문에 적분인자를 곱해서 완전상미분방정식의 형태로 만들어준 뒤, 우리가 알고 있는 풀이방법으로 미분방정식을 동일하게 풀이하면 다음과 같다. 적분인자를 곱한 재정의된 식에 완전상미분방정식의 필요충분조건을 적용해보면 성립하는 것을 확인할 수 있다.