[공학수학2] 복소해석

이번에는 복소평면에서의 복소수를 해석해보자. 복소수는 실수범주에 밖에 있는 수를 통칭해서 복소수라고 하며, 우리가 일반적으로 해석하는 실수평면에서는 나타낼수없다는 것이 일반적이다. 따라서 복소수를 해석하기위한 복소평면 이라는 개념을 도입하게 된다.

복소수의 연산은 앞서 배웠던것과 같이 실수는 실수끼리 복소수는 복소수끼리 연산해서 최종 복소수의 결과식이 만들어진다. 극좌표를 나타낸것과 같은방법으로 복소수역시 극형식으로 삼각함수형태로 나타낼수있다.

복소수의 극형식에서의 곱셈과 뺄셈연산은 삼각함수 공식을 이용해서 간단하게 나타낼수있을것이다. 특히 드 므아브르 공식은 복잡한 복소수를 간단하게 만들수 있다는것에서 유용하게 사용되므로 꼭 알아두자.

복소근은 다음과 같이 방정식의 해를 구하는것과 같은방법으로 구할수있다. 특히 n에대해서 도형을 일반화 할수있다는 점을 주목하자. n이 커질수록 다각형의 각이 커지면서 점점 교점이 많아질것으로 예상가능하다.

 

복소함수는 복소평면에서 해석이 가능한데, 이때 복소함수의 해석가능성을 판단하는 방정식이 바로 코시-리만방정식이다. 복소수영역의 모든 해석함수는 코시-리만 방정식을 만족하고 동시에 코시-리만 방정식을 만족하는 함수는 해석함수임을 꼭 기억하자. 즉 관계는 필요충분조건임을 알수있다.