[공학수학2] 편미분방정식-2차원 파동방정식/라플라스 연산자

앞서 소개했던 편미분 방정식을 적용해 2차원 파동방정식을 한번 배워보자. 2차원 파동방정식은 1차원 파동방정식에서 1개의 차원이 늘어난만큼 변수가 1개더 추가되었다. 따라서 모델링과정에서 선의진동이 아닌 면의 진동으로 해석한다.(박막진동) 따라서 경계조건 또한 박막의 경계수만큼 적용해야되고 초기조건의 조건도 늘어나게된다. 조건이 늘어난만큼 식도복잡하다. 하지만 기본적인 원리는 앞서 적용했던 변수분리법과 동일하다.

변수분리법을 이용해서 3개의 식을 유도한다음, 각각의 식을 미분방정식을 풀이한다. 각각의 미분방정식에 경계조건을 대입해서 비자명해를 찾아서 기본형을 유도한다.

기본형을 모두 결정하고 최종적인 계수를 공식화한다. 이때 f(x,y)는초기위치함수이고, g(x,y)는 초기속도함수이다. 따라서 초기조건에 따라서 b의계수가 결정된다. 예를들어서 초기속도가 0이면 b*는 0이다.(공식에의해서)

새롭게 정의된 라플라스 연산자를 좌표계를 변환해서 극좌표계의 라플라스연산자식이 어떻게 되는지 유도하는 과정이다. x,y에대한 라플라스 연산식을 r,seta로 변수를 변환해서 적용한다.

마찬가지로 x,y에대한 라플라스 연산식을 구좌표계의 연산식으로 변환하는 과정이다. 마찬가지로 변수분리법을 이용해서 식을 2개로 나누어서 해석한다. 이때 우리가 공수1에서 이미했던 르장드르방정식과 오일러-코시방정식의 형태와 동일한 형태가 나온다. 따라서 형태에 따른 공식을 적용할수있다.