[공학수학2] 편미분방정식-열전도방정식

이번에는 편미분방정식 마지막 파트 열전도 방정식에 대해서 알아보자. 기본적인 형태는 파동방정식과 비슷하지만 함수식에서 약간달라진다. 하지만 변수분리법을 이용하는 방법은 비슷하니, 꼭 알아두자. 먼저 형태가 간단한 1차원 열전도 방정식부터 알아보자.

기본적인 모델링은 길이가l인 막대가 x축상에 존자한다고 생각하고 양끝의 온도는 0도라고 경계조건을 설정한뒤에 문제를 적용한다. 앞서 변수분리법을 이용해 문제를 푼것과 동일하게 x에대한함수와 t에대한함수를 나누어서 적용한뒤, 각각의 기본형을 유도한다.

따라서 n에대한 일반항을 찾고 함수를 n의 일반항의 급수식으로 표현할수있다. 마찬가지로 2차원 열전도방정식도 변수분리법을 이용해서 풀수있다. 변수가 1개더 늘어났기때문에 각각의 경계에서 조건을 적용하고 함수식이 유도될수있다.

특히 2차원 박막 경계치문제는 전자기학 경계치문제(전위) 에서도 유용하게 사용되므로 꼭알아두자. 복잡한 경계치문제는 각각의 경계에 대한 해를 먼저 구하고 해를 더하면 각해를 모두적용한 복잡한 경계치문제의 해가된다는것을 이용하자. 주로 복잡한 경계치 문제를 해결하는데에 유용하게 사용된다.