[물리전자] 접합 확산전류(Minority Carrier Distribution) (2)

이전에 유도했던 식을 토대로 이어서 식을 유도해 보자. 이전에 설명했듯이 중성영역에는 캐리어들이 존재하지 않는다고 했었다. 따라서 각각의 minority 캐리어들은 양쪽으로 뻗어나가는 확산형태가 될 것이라고 예상가능하다. 이때 중성영역의 양쪽 끝 부분에서의 캐리어 농도가 가장 높을 것이라고 예상할 수 있다. 왜냐하면 중성영역에서 멀어질수록 마이너리티 캐리어는 더 작아지기 때문이다. 다시 말해 각 영역에서 거리가 가장 가까울수록 확산되는 캐리어들이 매우 많고, 농도가 더 높기 때문이다. 

위치에 따른 확산 그래프 경계조건

이 확산의 식을 구하기 위해서는 우리가 이전에 배웠던 앰바이폴라 전송방정식을 사용해야한다. 

우선 n영역에서 먼저 생각해보자. 위와 같이 전송방정식이 세워지는데 우리는 몇 가지 가정을 했기 때문에 방정식에서 소거되는 항이 많다. 외부전기장이 없기 때문에 전기장 항은 0, 생성 역시 없기 때문에 0이 되고 정상상태를 가정했기 때문에 시간에 대한 독립이다. 따라서 3가지 항이 모두 소거된다. 

그러면 위와같이 우리가 충분히 풀 수 있는 2계 미분방정식의 형태로 식이 정리된다. 미분방정식을 보다 풀기 쉬운 형태로 변환하기 위해서 계수를 1로 정리해서 새로운 문자로 지정한다. 

미분방정식을 풀면 위와같이 exp항의 합으로 나타난다. 이 항들의 계수는 아직 미지수이기 때문에 경계조건을 적용해서 미지수를 결정해야 한다. 이때 미지수가 2개이므로 최소 2개의 경계조건을 찾아야만 미지수를 결정할 수 있다.

경계조건

경계조건은 처음에 언급했던 중성영역과 가장 가까운 부분에서의 농도조건이고 나머지 한 개 조건은 무한대로 보냈을 때 확산은 더 이상 발생하지 않는다는 조건이다. 다시 말해 확산은 공간을 따라서 무한대로 발생활 수없기 때문에 n영역의 끝부분으로 가면 과잉캐리어가 존재하지 않고 원래 있던 농도 그대로 돌아온다는 것이다. 따라서 이 2가지 조건을 적용하면 미지수 2개를 모두 결정할 수 있다. 

미지수를 결정한 최종식(n영역)

따라서 미지수를 결정하면 위와 같이 최종적인 위치에 따른 확산식이 도출된다. 이 식은 n영역에서 도출한 식이므로 n영역에서만 적용이 가능하다 p영역에 서는 따로 유도는 하지 않겠다. 유도방법은 n영역에서 유도했던 것과 동일한 방법으로 해서 식을 유도할 수 있다.

미지수를 결정한 최종식(p영역)

이 유도된 식을 토대로 그래프를 그려보면 다음과 같다. 

확산 캐리어 분포 그래프

식에 의거해서 점진적으로 감소하는 확산 캐리어 분포를 확인할 수 있다. 확산의 법칙에 의해 확산은 무한대로 발생하지 않기 때문에 점점 각영역의 원래 캐리어 농도로 수렴하는 개형을 가진다. 

 

#전류식의 유도

이제는 확산 캐리어들의 분포를 유도했으니 유도한 식을 바탕으로 확산전류식을 유도해 보자. 

확산전류식은 n영역과 p영역의 확산전류를 모두 더한 것이 총접합에서 발생하는 전류의 크기가 될 것이다. 따라서 접합면에서 가장 확산이 많이 발생하므로 각 캐리어들의 농도가 가장 큰 포인트에서 확산전류식은 더하는 것이 중성영역에 흐르는 총전류를 구하는 방법이다. 

확산전류식

따라서 이전에 공부했던 확산전류 공식을 이용하면 다음과 같이 식이 나온다. 좀 더 간단하게 앞의 항을 상수로 처리해 버리면 아래와 같이 식이 간단히 정리된다. 

상수항을 제외하고 보면 확산전류의 변수는 온도와 외부에서 가해준 순방향전압에 의해서 결정된다는 것을 식을 통해 직관적으로 알 수 있다. 따라서 두 변수 중에 온도는 불변이라고 가정하고 외부 순방향전압의 변수만을 고려한 그래프를 그려보면 

이렇게 가해준 전압에 따른 확산전류그래프가 나온다. 지금까지 유도한 식은 여러 가지 조건을 걸고 이상적인 상황에서 유도한 식이므로 실제로는 위와 같이 반듯한 그래프가 나오지는 않는다. 하지만 실험을 통해 실제로 전류와 전압관계를 분석해 보면 그래프개형과 경향은 매우 비슷하게 관찰된다. 따라서 식과 그래프개형정도는 반드시 기억해 두자.