[공학수학1] 2계 제차상미분방정식(2)

이번에는 상수계수를 가지는 제차상미분방정식을 알아보자. 앞서 살펴본 내용은 상수계수가 아닌 일반적인 식이 y의 계수일 때 알아본 내용이었다. 하지만 이번에는 y의 계수가 상수항일 때 어떻게 미분방정식을 풀어야 하는지 한번 알아보자.

일반적으로 상수계수를 갖는 2계 제차상미분방정식은 다음과 같이 표현된다.

보통 이형태에서 어떻게 접근해야 타당하게 식이 성립될 수 있는지 잘 생각이 되지 않는다. 앞선 식과 같은 경우에는 기존에 존재하는식을 이용해서 타당한 새로운 식을 유도해서 해를 찾아내는 과정이었지만 이 상태에서는 새로운 식을 유도할 수도, 해를 직관적으로 찾을 수 없다. 따라서 우리는 해를 예측해서 주어진 식을 이용해 결정하는 방법을 사용한다.

우리는 이 해를 exp해로 예측한다. 왜냐하면 exp함수는 모든 x에서 미분가능하며, 주기성과 비주기성을 모두 가진 함수이기 때문에 미분방정식의 해로 적합하다. 그리고 앞서 배운 상수계수가 존재하는 1계 상미분방정식을 고려하면 경험적으로 exp함수가 해가 될 것이라고 예측할 수 있다.

사용되는 예측해

이 예측해를 주어진 상수계수 미분방정식에 대입하면 다음과 같다.

exp함수는 항상 0보다 크므로, 우리는 람다에 대한 2차방정식으로 미분방정식을 해석할 수 있게 된다. 이때 이 람다에 대한 2차 방정식을 특성방정식(characteristic equation) 이라고 하며 이 2차 방정식에 의해 미분방정식의 해가 결정된다. 2차 방정식에는 2개의 근이 존재하는데 a, b계수에 따라서 서로 다른 실근, 실이중근, 공액복소근(서로 다른 허근)으로 결정된다. 특성방정식의 두 근을 람다 1, 람다 2라고 정의하고, 앞서 설명한 중첩의 원리를 적용하면 근의 종류에 따라서 다음과 같이 다른 형태의 일반해가 결정된다. 

 

1. 2개의 실근을 가질때

중등과정에서 배운 2차 방정식의 판별식을 사용하면 쉽게 조건을 정의할 수 있다.

2. 중근을 가질 때

중근을 가질 때는 (판별식)=0의 관계를 통해서 a,b관계식을 얻을수있다. 따라서 람다의 값이 관계식을 통해 정해지며, 일반해역시 정해진 값에 따라서 형태가 달라진다. 이때 주의할점은 중근일 경우에는 한기저앞에 x가 붙는다는것이 특징이다.

3. 복소근 2개를 가질때

허근을 가질때는 두 개의 서로 다른 복소근이 생기며, 이 근을 이용해 미분방정식의 기저를 결정한다. 이때 기저의 형태는 삼각함수 sin, cos형태로 기저가 결정된다.

이와 같이 특성방정식의 계수에 따라 미분방정식의 기저의 형태가 달라지기 때문에 반드시 특성방정식의 판별식을 통해 근의 형태를 파악한 뒤, 기저를 결정하는 것이 중요하다. 특히 복소근의 형태는 후에 오일러공식에 중요한 개념이 되므로 꼭 이해하고 넘어가는 것이 좋다.