[공학수학2] 편미분방정식

편미분방정식에 대해서 알아보자. 편미분방정식은 1 변수가 아닌 다변수함수를 통칭하는 방정식이며, 변수가 여러 개일 때 방정식을 어떻게 풀어야 하는지 배울 것이다. 1 변수미분방정식은 공학수학 1에서 다루었지만 다변수에서도 기본적인 미분방정식의 형태에 대한 풀이법은 비슷하다. 따라서 내용이 헷갈리면 공수 1을 다시 보고 공부를 할 수 있도록 하자.

편미분방정식의 기본적인 개념과 형태에 대해서 알아두자. 기본적인 형태에서 추가된형태가 편미분방정식의 복잡한 형태이므로 기본적인 형태를 미리 아는 것이 중요하다. 특히 라플라스방정식은 나중에 활용되므로 개념은 꼭 알아두자.

파동방정식의 모델링이다. 현이 위아래로 진동한다고 가정하고 x축텐션과 y축텐션에대한 방정식을 이용해 방정식을 유도하는 과정이다. 특히 장력에 대한 방정식을 유도하는 과정이 중요하며 F=ma의 식을 이용해 x에 대한 방정식으로 유도하는 과정도 중요하다. 그다음 미분의 정의를 이용해 u(x, y)에 대한 편미분방정식이 최종적으로 유도된다.

구한 파동방정식를 결정하기 위해서 초기조건과 경계조건이 필수적이다. 변수분리법을 이용해서 k의 값에 따라서 case를 분류해서 방정식을 푼다. k가 음수일 때 유의미한 방정식의 형태가 나오는 것을 꼭 알아두자. 초기조건과 경계조건은 문제상황에 따라서 충분히 바뀔 수 있으므로, 문제상황을 잘 파악하고 조건을 잘적 용해서 방정식의 형태를 유도해 보자.

최종적으로 방정식의 형태가 다음과 같이 유도된다. 물리적 의미로는 파형의 t초전과 t초 후의 평균값으로 수렴한다는 것을 식의 형태를 보아 예측할 수 있다. 특히 정의한 함수를 이용해 푸리에 사인급수식과 코사인급수식의 형태를 이끌어내고, 계수식을 공식을 이용해서 구하는 것이 핵심이다.