[공학수학2] 복소적분(2)

복소적분시에 선적분 경로에 대한 특성을 알아보자. 어떤 복소함수를 선적분할 때 양끝의 시작점과 끝점은 같지만 그 경로(변위)가 다른 경우는 선적분값이 다르다. 경로에 독립일 경우에는 경로가 다를 때 적분값이 동일하지만 일반적 상황에서 경로가 다르면 선적분값이 다르다.

이전에 했던 선분 매개화를 통해서 적분값을 구할수있다. 선분 op는 시작점과 끝점이 같지만 경로는 여러 가지가 될 수 있다. 따라서 직선경로와 x축과 y축을 통해서 p점에 도달하는 경로를 한번 비교해 보면 경로에 따라서 적분값이 다르다는 것을 확인할 수 있다.

ML부등식은 특정함수를 적분하기 힘들거나 함수 boundary를 구할 때 사용하면 좋다. 특히 경로가 일반적이지 않거나 적분이 힘든 함수일때 유용하게 사용된다. 코시의 적분정리 역시 조건이 맞을때 폐경로 적분값이 0이라는 것을 이용해서 쉽게 선적분값을 구할때 사용된다.

경로변형의 원리를 사용해서 해석이 힘든 경로를 나누어서 적분정리를 이용할 수 있는 경로로 바꿀 수 있다. 특히 코시 적분정리를 이용해서 선적분의 경로를 알맞게 바꾸는 것이 핵심이다.

코시 적분공식은 경로 c에서 해석적이지 않은 점을 포함하고 있을 때 쉽게 적분값을 구할 수 있는 도구이다. 이때 복소함수 f(z)는 영역 d에서 해석적이어야 한다는 것이 조건이다. 특히 경로를 바꿀 때 코시의 적분공식을 적용하기 쉽게 경로를 바꾸면 보다 쉽게 적분값을 구할 수 있다. 해석함수의 도함수역시 적분값을 이용해 도함수를 공식화해서 구할수있다.