[공학수학2] 수열과 급수(2)

수열의 수렴원과 수렴반지름에 대해서 한번 알아보자. 수렴원이라고 해서 실제적으로 원이 있는 것은 아니고 수열의 수렴과 발산을 모델링한 것이라고 생각하면 편하다. 수렴반지름보다 작을 때는 수렴하는 수열로 해석할 수 있고, 수렴반지름보다 클 때는 수열이 발산한다고 할 수 있다.

수렴반지름을 판단하고 수렴반지름 z=R에서의 수렴과 발산을 판단할 때는 좀 더 자세한 판단이 요구된다. 즉 수렴반지름 위에서의 수렴발산은 따로 고려해야 된다는 것을 의미한다. 수열에서의 수렴반지름은 비 판정법에서 사용되었던 계수 L의 역수로 나타나며, 비판정법 식의 역수로 바로 구할 수 있다.

거듭제곱 급수로 나타나는 무한등비수열은 등비의 크기가 1보다 작을 때 수렴한다는 조건이 중요하다. 등비급수의 급수식은 무한등비수열 급수식과 동일하게 나타난다. 거듭제곱 급수의 연산은 항별미분이 많이 사용되는데, 특히 특정함수식을 미분/적분을 이용해서 문제에서 나타난 형태의 급수로 변형하는 것이 중요하다.

테일러급수 역시 복소수에서도 적용된다. 마찬가지로 대입과 적분을 이용해서 원하는 급수식의 형태로 만들 수 있고 미분/적분을 수행해도 수열의 수렴반지름은 변하지 않는다.

로랑급수의 경우에는 0에서부터 시작항으로 취급하던 수열과 달리 음수차항까지 고려한 급수이다. 따라서 급수의 시작도 -무한대임을 확인할 수 있다. curve C에서 폐곡선 적분을 취해주면 -1항만 남게 된다는 특징이 존재한다. 어떤 복소함수 f(z)가 원환영역에서 해석적이면 로랑급수로 표현될 수 있고, 수렴원환에서 로랑급수는 유일하다.