[공학수학2] 푸리에변환(Fourier Transform)

마지막으로 푸리에 변환에 대해서 한번 알아보자. 푸리에변환은 공학에서 자주 사용되는 변환법이고, 특히 통신이나 신호처리분야에서 가장 많이 사용된다. 푸리에변환은 함수의 도메인을 바꾼다는 것에서 의미가 있다. 쉽게 설명하면 함수(신호)의 도메인을 시간에서 진동수로 바꾸는 과정이다. 시간에 대해서 여러 진동수가 합성된 신호를 진동수별로 나눌 수 있다. 

단일 사인함수

위와 같은 시그널이 있다고 가정해 보자. 단일사인함수 같은 경우에는 진동수성분이 한 개이기 때문에 진동수성분을 파악하기 쉽다. 하지만 여러 진동수 성분이 합쳐져 있으면 어떻게 될까?

합성된 사인함수

위와 같이 다양한 진동수 성분이 합쳐진 사인함수와 같은 경우에는 해석하기가 쉽지 않다. 함수의 주기성은 여전히 남아있지만 정확히 어떤 진동수 성분이 합쳐져 있는지는 직관적으로 알기어렵다. 따라서 우리는 이 사인함수를 푸리에 변환해서 다양한 진동수성분이 어떤 진동수가 합쳐져있는지 알아내야 공학적으로 의미 있는 해석을 할 수 있을 것이다. 좀 더 실제적인 음향에 대해서 모델링해보자.

실제로는 위모델보다 잡음과 고음까지 섞여서 훨씬 복잡한 파형이 시간에 대해서 관측될 것이다. 우리가 자연에서 관측하는 파형은 항상 시간에 대한 진폭(음압)을 관측하는 것이므로 다시 진동수영역으로 관측할 필요가 있다. 따라서 위 신호를 진동수에 대해서 도메인을 변환해 보자.

푸리에변환후 그래프

위와 같이 푸리에변환한 그래프가 주파수영역대별로 표현된다. 그래프개형이 어디서 본듯한 그래프개형이지 않은가? 그렇다 이전에 소개했던 델타함수형태와 매우 유사하다. 이는 원함수를 이산적인 진동수영역에서 표현했기 때문에 이처럼 델타함수로 나타난다. 만약 실제로 잡음이나 좀더 다양한 영역에서 진동수를 표현했다면 위와같이 깔끔하게 델타함수처럼 나오지 않을 것이다.