[공학수학2] 푸리에변환(Fourier Transform) (2)

이전에는 푸리에변환을 좀 더 수학적으로 모델링해보자. 도메인을 시간영역에서 주파수영역으로 바꾸기 위해서는 어떤 수학적 도구가 필요할까? 바로 적분변환이 사용된다. 라플라스변환에서도 마찬가지로 적분변환을 이용해서 s영역으로 도메인을 변환했던 것처럼 푸리에변환에서도 동일하게 적분변환을 통해서 주파수 영역으로 바꿀 수 있을 것이다. 다만 차이점은 푸리에변환은 허수의 개념이 들어간다는 것이다. 허수의 개념이 들어가는 이유는 위상을 복소평면에 나타내기 위해서 이다. 정확한 개념은 오일러공식의 개념을 이용해서 설명이 가능하다.

푸리에변환식

푸리에 역변환식

위와 같이 푸리에변환식과 역변환식이 정의된다. 푸리에변환식은 푸리에급수식으로부터 출발하지만 상황에 따라서 얼마든지 다르게 유도할 수 있다. 문헌에 따라서 적분식 앞에 상수가 붙는 경우도 있지만 필자의 경우에는 없다고 취급하고 적분식을 사용하겠다.

 

#수식의 의미

임의의 신호 g(t)

해석을 위해 일정한 형태가 반복되는 주기가 T인 신호를 생각해 보자.

이산적인 데이터로 나타낸 한주기 신호

신호의 한 주기에 대해서 함숫값의 크기만큼 이산적인 데이터에 대해서 point마다 크기로 나타낼 수 있다. 이 데이터들을 단위원에 표현해 보면 다음과 같다.

단위원에 회전시킨 데이터

이 단위원에 신호를 나타낸순간부터 진동수의 개념은 하나 더 추가된다. 진동수는 원래신호의 진동수가 존재할 것이고 단위원에서 각 point를 나타내는 위상자의 각진동수 오메가(w) 또한 존재한다. 따라서 시간 t가 지남에 따라 위상자가 회전하면서 각각은 point를 지정할 것이다. 즉, 한 주기의 신호를 원한개에 표현할 수 있을 거고 원의 절반에 표현할 수도 있을 것이다. 단위원의 위상자 각진동수는 설계자가 임의로 지정해서 표현할 수 있다는 것에 주목하자.

단위원을 복소평면에 나타내면 위와 같다. 좌표 z를 극좌표계를 사용해 수식으로 표현하면 삼각함수의 합으로 표현된다. 

극좌표계로 표현된 z좌표

위식이 극좌표계로 표현된 z좌표이다. 뭔가 어디서 많이 본듯하다. 그렇다 바로 오일러의 공식이 떠올라야 할 것이다. 따라서 z는 오일러공식으로 간단하게 표현될 수 있다.

그렇다면 다시 이전에 회전시킨 이산 데이터를 생각해 보자. 이 데이터를 가리키는 위상자의 좌표 또한 오일러공식을 적용해서 복소평면에 동일한 방법으로 표현할 수 있을 것이다. 단지 각 세타가 w*t로 바꾸어서 적용해야 시간의 흐름에 따라서 위상자의 위치를 정확히 표현할수있을것이다. 우리가 관심을 가지는 물리량은 바로 위상자의 진동수에 따른 데이터의 무게중심이다. 데이터의 무게중심은 특정 진동수에서 한쪽으로 쏠리는 경향이 있는데 바로 피변환함수의 진동수와 각진동수가 일치할 때 무게중심은 한쪽으로 쏠리게 된다. 무게중심이 한쪽으로 쏠린다는 것은 데이터가 비대칭구조를 가진다는 것을 의미하며 이는 상쇄되는 신호가 없이 맞물렸을 때 나타나는 분포이다. 따라서 이 무게중심의 위치를 각진동수에 따라서 나타낸 것이 바로 푸리에변환의 기본적인 개념이다. 

다시 정리해 보자면 회전하는 데이터를 복소평면에 표현하는 것은 exp를 이용한 오일러의 공식을 적용해서 나타낼 수 있을 것이고 데이터를 단위원에 적용시키는 과정은 이 exp함수에 g(t)를 곱하는 것으로 구현이 될 것이다. 단위원에 적용한다는 개념이 잘 와닿지 않을 것이다. 하지만 어떤 모델에 g(t)라는 gain이 단위원에 곱해져서 출력된다고 생각해 보자. 

그다음 데이터가 적용된 단위원을 모든 이산적인 데이터에 대해서 더해야 총질량을 구할 수 있다. 이때 이산적인 데이터의 샘플링 개수를 무한번으로 확장하게 되면 양수영역의 적분식으로 확장된다. 일반적으로 전 구간적분(음의무한대~양의무한대)을 푸리에변환이라고 하지만 이 양수영역을 전구간으로 확장하여도 개념상의 문제는 없으므로 충분히 적용할 수 있을 것이다.