이전까지 전자의 확률함수, 상태밀도함수를 다루었다. 이 2가지 물리량을 알면 평형상태에서의 전자의 분포를 알 수 있다. 이제 본격적으로 밴드에서 전자의 분포가 어떻게 형성되는지 한번 알아보자. 캐리어의 종류에는 전자와 양공이 있으며 전자는 - 전하를, 양공은 +전하를 띤다. 이 두 가지 캐리어에 의해서 전류가 흐르고 전압이 생기는 다양한 전기적인 특성이 발생한다. 먼저 평형상태의 정의를 살펴보자.
#평형상태
평형상태란 외적인 힘이 가해지지않거나 전기장, 자기장, 온도, 압력과 같은 외부적인 요인이 하나도 없는 상태를 뜻한다. 다시 말해 외적인요인에 의해서 캐리어들이 영향을 받지 않는 상태를 평형상태라고 정의한다. 평형상태에서는 오직 밴드구조에 따라서 캐리어들이 분포를 이루게 되고 비평형상태보다 해석이 쉽기 때문에 모든 것을 베재하고 캐리어의 분포만을 관찰할 수 있다는 장점이 있다.
#전도대에서의 전자분포(Equilibrium Distribution of Electrons)
전자의 분포는 가능한 양자 상태수와 한 양자수에 대해서 전자가 존재할 확률을 곱하면 분포가 된다. 다시말해 특정에너지 레벨에서 전자의 분포는 상태밀도함수와 페르미 확률함수를 곱한 함수가 된다는 것이다.
위 식은 특정 에너지에서 전자가 분포하는 단위에너지당 전자의갯수를 의미한다(밀도) 전자의 분포는 전도대에서 존재하므로 상태밀도함수는 전도대범 위의 상태밀도함수를 사용한다. 그렇다면 전자의 전체농도는 어떻게 구할 수 있을까? 이 전자의 분포식에서 전도대구 간을 적분하면 전체 전자의 농도가 된다. 식으로 나타내면 다음과 같다.
적분구간이 전도대시작부터 무한대인 이유는 무한대로갈수록 페르미 확률함수의 개형에 따라 전자의 존재확률은 어차피 0에 수렴하기 때문에 무한대까지 적분해도 적분값이 0이 되므로 구간의 상한은 무한대로 설정해도 무관하다.
#가전자대에서의 양공분포(Equilibrium Distribution of Holes)
마찬가지로 양공의 분포는 가능한 양자 상태수와 한 양자수에 대해서 양공이 존재할 확률을 곱하면 분포가 된다. 하지만 양공의 경우 확률함수가 약간 달라진다. 양공이 존재할 확률은 전자가 없을 확률가 동일하기 때문에 두 관계는 정확히 complement(상보) 관계이다. 따라서 집합론에서 여집합에 해당하므로 두 관계에서 흑백논리가 완벽하게 성립한다. 즉 전자가 존재하지 않을 확률이 결국 양공이 존재할 확률이 된다는 것이므로 (1-확률)이 결국 양공이 존재할 확률이 되는 것이다. 따라서 다음과 같이 식이 성립한다.
마찬가지로 전체 가전자대범위에서 적분한식이 결국 양공의 전체농도가 된다. 따라서 적분식은 다음과 같다.
#그래프상에서의 분포
위와같이 전자와 양공의 확률함수는 Ef를 기준으로 완벽하게 대칭을 이루고 있다는 것을 알 수 있다. 물론 실제적으로 완벽하게 대칭은 아니겠지만 이 상황에서는 Ef가 밴드갭 중앙에 위치하고 평형상태이며 아무런 도핑도 없다는 가정하에 이상적인 그래프개형이라서 대칭구조를 형성하고 있다.
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