[물리전자] 도핑캐리어 농도(The extrinsic Carrier Concentration)

이번에는 진성반도체가 아닌 반도체에 불순물이 추가되었을 때 캐리어가 어떻게 분포하는지 한번 알아보자. 핵심은 확률함수의 페르미준위가 달라지면서 각밴드에서의 전자존재확률이 달라진다는 것이다. 즉 페르미 확률함수가 위아래로 평행이동하면서 각 확률이 조정된다고 생각하면 매우 간단하다. 

 

#불순물 반도체의 종류

불순물반도체는 크게 2가지로 나뉘어지는데 바로 n형반도체와 p형 반도체이다. 이 반도체들은 진성반도체에서 도펀트를 도너를 주입하느냐, 억셉터를 주입하느냐에 따라서 다른 형태의 반도체가 된다. 각각의 반도체들은 다른 특성을 가지고 있으며 의도에 맞게 도펀트를 주입해서 용도에 맞게 반도체를 만들 수 있다. 도펀트의 종류는 도너와 억셉터가 있는데 도너를 주입하면 n형반도체가 되고 엑셉터를 주입하면 p형반도체가 된다. 각각이 어떤 도펀트인지 한번 정의해 보자.

 

-도너(Donor)

전자를 내준다는 특징이 있으며 원자가전자가 5개인 원소불순물이다. 4개의 공유결합을 한 뒤에 한 개의 전자를 내놓는 원자이다. 주로 사용되는 원자는 인, 비소, 안티몬, 비스무스 등이 있다.

-억셉터(Acceptor)

양공을 만들어낸다는 특징이 있으며 원자가전자가 3개인 원소불순물이다. 4개의 공유결합과정에서 1개의 자리가 양공으로 생겨서 양공이 생성된다는 특징이 있다. 즉 3개의 가전자가 공유결합에 참여하고 모자라는 빈자리가 양공이 된다. 주로 사용되는 원소로는 붕소, 알루미늄, 갈륨, 인듐 등이 있다.

종류	도펀트	페르미 준위
Intrinsic semiconductor	-	Ef=Efi
Extrinsic semiconductor(N-type)	Doner	Ef>Efi
Extrinsic semiconductor(P-type)	Acceptor	Ef<Efi

도핑에 따른 페르미 준위의 위치

 

어떤 종류를 도핑하느냐에 따라서 위와 같이 페르미 준위의 위치가 달라지게 된다. 기존의 진성반도체 같은 경우에는 페르미 준위의 위치는 거의 밴드갭의 중앙에 위치했는데, 도핑을 하는 순간 준위가 위 또는 아래로 이동하게 되면서 각밴드에서의 전자존재확률이 달라지게 된다. n타입반도체에서는 준위가 올라가면서 전자확률이 각각 증가하고, 반대로 p타입반도체에서는 준위가 내려가면서 전자확률이 작아지게 된다. 전자확률이 작아진다는 것은 양공의 존재확률이 증가한다는 것과 동일하다고 저번에 설명했을 것이다. 즉 각각의 타입에서 존재하는 케리어의 농도가 늘어날 것이라고 예상할 수 있다.

 

#도핑이 있을 때 공식의 변화

도핑이 존재할 때는 앞서 유도한 식이 약간 달라지게 된다. 

위와 같이 이전 진성반도체에서 사용했던 식을 적절히 변형해서 현재 페르미준위에 따라서 전자의 농도와 양곤농도가 정해지게 된다. 이식은 도핑반도체에서만 사용할 수 있는 식은 아니다 왜냐하면 기존의 식을 변형해서 만든 것이기 때문에 진성반도체에서도 성립한다. 하지만 식의 형태를 보면 Ef-Efi가 항상 0이 나오기 때문에 ni=n0=p0라는 식이 나오기때문에 의미 있는 식이 나오지는 않는다. 하지만 exp항을 자세히 보면 부호가 반대이고 동일한 텀이 존재한다. 따라서 두 항을 곱해보면 다음과 같은 식이 나오게 된다.

Fundamental semicondutor eqn

위와 같은 관계를 만족하게 된다. 이 식은 공식을 통해서 유도해 낸 식이기 때문에 앞서 사용된 공식이 만족할 때 이관계가 성립한다. 따라서 이 관계식이 만족하기 위해서는 다양한 조건이 존재하는데, 조건은 다음과 같다.

관계식이 만족하기위한 조건

정리하자만 n0, p0가 항상 상수일 때, 열평형상태일 때, 볼츠만근사가 가능할 때 위 관계식이 성립한다는 사실을 꼭 기억하도록 하자. 특히 후에는 열평형상태가 아닌 상황도 나오기 때문에 이 관계식을 사용하면 물리적으로 맞지 않는 상황이 생긴다. 그러므로 공식조건을 기억하자.

특히 위 관계식은 매우 유용하게 사용되는데 식형태는 간결하지만 의미하는 바는 아주 강력하다. 특히 ni가 일정하고 양공과 전자의 농도를 비교분석할 때 매우 많이 사용된다. 만약 ni가 일정하다면 전자농도가 증가할 때 양공의 농도는 위 관계식에 의해서 감소할것이고, 반대로 양공농도가 증가할때 전자의 농도는 감소할 것이다.

 

#그래프개형

그래프를 해석할때는 항상 페르미확률함수가 변하는 함수이므로 페르미준위를 기준으로 함수를 평행이동한다고 생각하고 문제를해석해보자. 

N-type grape

N타입의 경우에는 확률함수가 위쪽으로 평행이동된 상태이므로 밴드에서 확률이 증가하게 된다. 따라서 각 밴드에서 전자의 존재확률이 올라간다.

P-type grape

P타입의 경우에는 확률함수가 아래쪽으로 평행이동된 상태이므로 밴드에서 확률이 감소하게 된다. 따라서 각 밴드에서 전자의 존재확률이 내려간다. 그러므로 양공의 존재확률은 증가하게 된다.