[물리전자] 진성 캐리어 농도(The intrinsic Carrier Concentration)

이번에는 이전에 유도한 캐리어들의 분포식을 가지고 좀 더 수학적으로 유도해 보자. 먼저 비교적 해석이 간단한 진성 반도체를 기준으로 해석해 보자. 진성반도체는 아무런 불순물이 들어가 있지 않은 반도체이고, 하나의 원소로만 이루어져 있는 반도체이다. 

 

#열평형상태의 전자농도(Thermal equilibrium concentration of electrons)

이전에 정의했던 적분식을 볼츠만 근사를 이용해서 적분식을 간단하게 풀어보자.

전자농도 적분식의 유도과정

전자분포식을 볼츠만근사를 이용해 적분하면 다음과 같이 exp형태로 식이 나온다. 과정은 다소 복잡할수도있지만 결과식은 매우 중요하기 때문에 꼭 기억해 두자. 특히 앞 상수는 Nc로 처리해서 좀 더 편하게 변하는 물리량으로만 공식화해서 알 수 있도록 하자. 이때 상수값인 Nc는 유효질량에 비례하는 값이며 온도에도 비례하는 것을 알 수 있다. 이 값은 대부분 물질마다 정해져 있는 값이며 실험을 통해 알아낸 값이다. 일반적으로 계산할 때는 10^-19으로 설정하고 문제를 해결한다.

 

#열평형상태의 양공농도(Thermal equilibrium concentration of holes)

마찬가지로 열평형상태에서 양공농도를 알아보자. 좀 전에 적분식으로 유도했던 것처럼 동일하게 적분식을 풀어서 공식화해보자.

양공농도 적분식의 유도과정

동일하게 양공분포식을 가전자 대범 위에서 적분하면 위와 같이 적분식이 풀린다. 적분결과가 매우 중요하므로 꼭 암기할수있도록하자. 마찬가지로 앞의상수부분은 따로 정의해서 간단하게 식이 정리될수있다. 이 두식을 이용해서 진성반도체에서의 캐리어들을 좀더 쉽게 구할수있는 식을 페르미에너지준위를 이용해서 나타내보자. 진성반도체에서 전자와 양공의 농도는 동일하기 때문에 이 두식을 같다고 하고 식을 정리해보면 다음과 같이 식이 나온다. 

 

위와같이 진성페르미에너지 레벨을 이용해서 식을 나타낼 수 있다. exp안에 항이 부호가 반대이고 동일한 항이 남아있으므로 두식을 한번 곱해보자.

그러면 이렇게 밴드갭으로 표현되어서 식이 간단하게 정리된다. 식을 한번 살펴보면 ni를 결정하는 변수는 밴드갭과 온도로 결정된다는 것을 식을 통해서 해석할 수 있다. 밴드갭이 작아질수록 캐리어농도는 올라가고 온도가 커질수록 캐리어농도가 올라간다. 

원소에 따른 상수값

위와 같이 물질에 따라서 상수값이 달라진다. 표를 보고 참고할 수 있도록 하자.

 

#실제적인 진성 페르미 준위의 위치

진성반도체의 경우 해석을 위해서 페르미준위가 밴드갭의 중앙에 위치한다고 놓고 해석했지만, 실제로는 그렇지 않다. 따라서 이번에는 진성반도체에서 실제로 페르미에너지 준위가 어디에 위치하는지 한번 식을 통해서 유도해 보자.

 

위 식을 통해서 정확한 페르미준위를 찾을 수 있다.