[물리전자] 도핑에 따른 농도특성(Statistics of Donors and Acceptors) (2)

이번에는 좀 더 실제적인 원리와 원리에 따른 사용가능한 공식을 유도해 보자. 공식을 유도하기 전에 온도에 따른 전자농도의 특성에 대해서 좀 더 살펴보자. 도핑이 된 상태에서는 온도에 따라서 전자의 농도가 다르게 증가하고 유지되는 경향이 있다. 

1. 온도에 따른 농도변화

온도에따른 농도변화 그래프

위와같이 온도변화에 따라서 전자의 농도가 다르게 변화하는 것을 알 수 있다. 그래프의 개형에 따라서 1~3까지 3 부분으로 나눌 수 있다. 1번 부분은 온도가 상승함에 따라서 농도가 급격하게 상승하는 경향을 보인다. 이 부분은 이온화가 진행되고 있는 부분으로 낮은 온도대역에서 발생하며 도너가 전이되고 있는 과정이기 때문에 급격한 농도상승이 나타난다. 2번 부분은 모든 도너가 이온화되고 더 이상 전이되는 도너가 없으면 온도에 따라서 더 이상 농도가 증가하지 않는 구간이다. 하지만 3번 구간까지 온도가 높아지게 되면 진성 성질에 의해서 농도가 점차 높아지게 된다. 다시 말해 밸런스밴드에 있던 전자들이 높은 온도에 의해서 컨덕션밴드로 전이되면서 자유전자가 매우 많아지는 구간이라고 생각하면 편할 것이다.

 

-Freeze out(T=0K)

절대영도일때 페르미준위 위치

특정한 상황에서는 페르미준위가 이온화준위와 전도대 혹은 가전자대에 위치하는데 바로 온도가 0k일 때 이러한 현상이 발생한다. 절대영도일 때는 입자들이 온도에 따라 전이되는 경향(열에너지에 의한 전이)이 없기 때문에 이와 같은 현상이 발생하게 된다. 특히 극단적으로 낮은 온도일 때는 볼츠만 근사가 적용되지 않는다는 것을 인지하자. 따라서 우리가 알고 있는 모든 공식은 적용할 수 없는 특수한 상태이다.

 

2. 도핑양에 따른 반도체의 성질

-Nd> Na

도너가 억셉터보다 더 많이 도핑될 경우에는 도너의 영향이 반도체에 좀 더 크게 작용하게 된다. 따라서 도너에 따른 영향을 많이 받기 때문에 반도체의 성질은 n형 반도체의 성질을 많이 가지게 된다. 당연하게도 두 도핑양의 차이가 클수록 더 큰 성질을 가지게 될 것이다.

-Na> Nd

반대로 도너보다 억셉터의 도핑양이 많을 경우에는 억셉터의 영향이 반도체에 좀 더 많이 작용하게되고 반도체도 억셉터의 영향을 많이 받아서 p형반도체성질에 좀더 가까워진다. 

-Na=Nd

도너와 억셉터의 양이 같은 때는 두 개의 영향이 완전히 동일해지며, 두개의 영향은 반도체에서 서로 상쇄된다. 따라서 반도체는 도핑이 없는 상태인 진성상태와 동일해진다.

 

3. 각각의 방정식과 공식유도

-이온화 방정식

반도체는 중성상태를 유지해야 하기 때문에 -이온과 +이온의 양이 항상 같게 유지되어야 한다. 따라서 이러한 중성상태조건을 이용해서 새로운 이온화방정식을 만들 수 있다.

이온화 방정식

좌변은 -이온을 의미하고 우변은 +이온을 의미한다. 이식과 n0 p0=ni^2의 식을 이용해서 두식을 연립하게 되면 2개의 2차 방정식이 나오게 되는데 이 방정식에서 근의 공식을 이용해서 각각의 농도에 대한식으로 유도할 수 있다.

위와 같이 도핑이 2종류 모두 도핑되어 있는 상태일 때 두 도핑양의 차이로 현재 전자농도 혹은 양공농도를 위 공식을 통해서 알아낼 수 있다. 또한 도핑양의 대소관계를 알 때 각 페르미 에너지 준위의 위치를 농도를 공식에 사용해서 타입별로 공식에 적용해서 준위의 위치를 적용할 수 있다.

 

#Fermi energy level in n-type

#Fermi energy level in p-type

도핑양이 매우 클때(Na or Nd>>ni)는 각각의 n0와 p0가 도핑값으로 대체될수있다는것을 기억하자 따라서 주어진 위의 식은 도핑값이 매우크다는 전제하에 다음과같이 변형될수있다.

도핑값이 충분히 클때 다음과 같이 식이 간단히 변형될수있다.