[물리전자] 캐리어의 생성과 소멸 (Carrier generation and recombination) (3)

이제는 캐리어의 생성과 소멸 개념에서 시간의 개념을 추가해서 생각해 보자. 시간의 개념이 들어가는 순간 생성과 소멸은 시간에 대해서 변화하는 식이 만들어질 것이다. 이 시간에 대한 식을 알 수 있으면 시간에 따라 변하는 과도캐리어의 양을 알 수 있을 것이고 이에 따라 시간-캐리어농도 그래프를 그릴 수 있다. 먼저 빛이 인가되는 상황을 모델링해서 식을 분석해 보자. 

빛이 인가되는 상황의 그래프

위의 그래프식은 시간-전자농도 그래프이다. on이 빛이 인가되었을때의 시간이고 off가 빛이 꺼졌을 때의 시간이다. 그래프개형을 잘 봐두자, 이 그래프개형은 후에 앰바이폴라 연속방정식에서 자주 사용되는 모델링이고 대부분의 해석은 이 그래프에서 시작된다. 특히 빛이 on 된 상황과 off 된 상황에서 그래프는 미분불가능한 point를 가진다는 사실에 주목해 보자.(기울기가 급격하게 변화하는 점이므로) 후에 경계조건을 적용할 때 이 경계를 기준으로 그래프가 변형되기 때문에 경계조건을 잘 적용해서 미지수를 결정하는 것이 중요할 것이다. 미분이 불가능하더라도 그래프전체적으로는 연속함수로 나타난다는 것도 하나의 특징이다. 이제 구간별 특징을 한번 살펴보자.

 

-A구간

빛을 인가하기전의 열평형상태를 의미하는 구간이다. 이 구간은 말 그대로 외부자극이 주어지기 전 상황을 그래프로 나타낸 것이며, 외부자극이 없기 때문에 시간에 따라 전자의 농도가 일정하게 유지되는 모습을 보인다. 즉, 앞서 배운 내용대로  생성률과 소멸률이 같기 때문에 과잉캐리어가 생성이 없으므로 전자는 n0의 값을 유지한다.

 

-B구간

외부자극이 들어오는 구간이다. 빛이 인가되는 구간이므로 전자가 점진적으로 생성되고있음을 그래프를 통해서 확인할 수 있다. 따라서 이 구간에서 과잉 캐리어의 생성률은 소멸률보다 크다.

 

-C구간

여전히 외부자극은 들어오고있지만 더 이상 전자가 증가하지 않는 구간이다. 왜냐하면 이전구간에서는 생성률이 소멸률보다 크기 때문에 계속해서 과잉캐리어가 생겨서 전자농도가 점진적으로 증가했지만 이 구간부터는 생성률과 소멸률이 일치해서 더 이상 과잉캐리어가 생기지 않고 이전상태를 유지하게 된다. 이러한 상태를 정상상태(steady-state)라고 한다. 에너지를 가한다고 해서 무한대로 전자가 늘어나지 않는 이유가 바로 이러한 정상상태가 존재하기 때문이다. 그래프상에서 정상상태와 평형상태는 같은 것처럼 보이지만 사실상 두 상태는 완전히 다르다. 이 차이점에 대해서는 추후에 설명하겠다. 

 

-D구간

외부자극을 차단(빛의 공급을 차단한상태)시킨 이후의 구간이고, 이 구간에서 과잉캐리어의 생성이 없고 소멸만이 존재하게 된다. 따라서 그래프상에서 전자농도가 점진적으로 감소하는 경향을 보인다. 이때 빛의 영향이 존재하지 않으므로 생성은 Gno(평형상태 생성률)이 되고, 소멸은 Rn(=Rn0+R'n)이 된다. 

 

-E구간

모든 과잉캐리어들이 소멸되고 다시 빛을 인가받기 전의 상태로 돌아온 상태. 이 구간에서 다시 계(system)는 평형상태로 복구된다.

 

각 구간별 관계식

구간별 관계식을 잘 숙지할수있도록하자. 후에 여러 가지 상황의 문제가 주어졌을 때 이 그래프를 떠올리면서 문제상황이 어떤 구간에 해당하는지 잘 매칭하고 관계식을 적용하면 물리적인 상황이 잘 해결될 수 있다. 이제는 모델링을 한 것을 바탕으로 과도캐리어의 식을 한번 유도해 보자.

 

#과도캐리어 식 유도

시간에 따른 전자의 변화량은 다음과 같이 정의된다. 생성량-소멸양이 결국 시간에 따라서 변화하는 양일 것이다. 이때 단순히 양이 아니라 '비율' 이므로 시간의 개념이 포함되었다고 생각할 수 있다. 정확히 표현하자면 현재 식은 그래프상에서 구간 D에 해당하므로 Gn이 아니라 Gn0로 사용되어야 정확하다. 따라서 이전 과도캐리어 공식을 적용하면

각각을 의미 있는 식으로 변형하기 위해서 필요 없는 변수와 상수를 무시할 수 있다고 가정하자. 즉, 저준위주입 (low-level injection)이라고 가정해 보면 다음과 같이 식이 간단하게 된다.

이 식에서 현재 적용하는 타입의 반도체가 p타입 반도체라고 가정한다면 n0는 po에 비해 매우 작은 값이므로 무시할 수 있는 수준이다. 따라서 다음과 같이 식이 간략화된다. 이때 식은 n에 대한 식으로 정리된다는 사실을 기억하자. 식은 항상 타입과 반대되는 캐리어를 중심으로 정리된다.

그럼 우리가 풀 수 있는 가장 간단한 미분방정식의 형태로 식이 나오게 된다. 따라서 과도캐리어 식은 exp함수의 형태로 나오게 된다. 이때 지수함수의 지수분모에 있는 항을 우리는 과도 캐리어수명(Excess carrier life time)이라고 정의한다.

p형반도체 소멸율 최종공식

따라서 위 식을 정리하면 소멸식은 다음과 같이 정리된다. 현재 p형반도체로 가정하고 식을 정리한 것이라고 n에 대한 소멸이 나타났다. 하지만 구간 D에서 양공과 전자의 소멸률은 같기 때문에 Rp'역시 위식과 동일하다. 그리고 n형반도체로 가정하고 식을 정리하면 마찬가지로 캐리어수명시간이 n이 아니라 p로 바뀌고 식의 형태는 동일하게 나타난다.