[물리전자] 홀 효과(The Hall Effect)

이번에는 홀 효과에 대해서 한번 알아보자. 홀 효과는 1879년 Edwin Hall이 실험과정 중에 발견한 현상인데 이 현상을 이용하면 우리가 지금까지 알려진 거의 모든 파라미터들을 실험을 통해서 결정할 수 있게 된다. 특히 캐리어 모빌리티나 농도를 실험을 통해서 거의 근사하게 결정할 수 있다. 홀 효과를 이해하기 위해서는 전자기학 개념인 전자기장에서 움직이는 전하가 받는 힘에 대한 공식 이해가 선행되어야 한다. 먼저 이 공식에 대해서 살펴보자.

 

#움직이는 전하가 받는힘

움직이는 전하가 받는힘

위 식을 고등학교학습과정에서 배운 사람도 있을것이고 아니면 전자기학 전공에서 새롭게 배운사람도 있을 것이다. 혹은 지금 아예 처음 보는사람도 있을것이다. 우선 각 기호를 설명하자면, q는 전하량 F는 힘을 의미하는 것이고 V는 전하의 속도 B는 자기장을 의미한다. 세 가지 물리량모두 벡터량이며 방향을 내포하고 있는 값이다. 따라서 x기호는 벡터의 외적을 의미하며 외적방향은 오른손의 법칙을 따른다.(자세한 내용은 다음의 링크를 참고:https://en.wikipedia.org/wiki/Right-hand_rule) 다시 그림을 통해서 한번 물리적인 상황을 이해해 보자.

 

Curve C를 따라 움직이는 +전하

위와 같이 curve C를 따라 움직이는 +전하가 있다고 하자. 그러면 자기장 B에 영향을 받아 힘을 받을 것이다. 힘의 방향은 이동방향 u의 방향과 자기장의 방향 B를 외적 하면 뚫고 나오는 방향인 F가 최종적으로 받는 힘이 된다. 힘의 크기 역시 외적의 정의에 따라 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이가 될 것이다. 

 

#홀 효과

이제는 본격적으로 홀 효과를 모델링해보고 실질적인 공식을 유도해 보자. 홀 효과에서도 마찬가지로 원리를 이해하는 것이 가장 중요하고 각 기호가 어떤 의미를 가지는지 이해하는것이 많이 중요하다. 

홀효과 실험 모델링

위 모델은 홀효과를 좀 더 이해하기 쉽게 그림으로 모델링한것이다. 외부전압 Vx를 걸어주고 외부자기장 Bz를 걸어준다. 그 후에 캐리어의 움직임을 관찰한다. 외부전압에 의해 캐리어의 운동이 생기고 외부자기장이 가해지면서 캐리어에 힘이 가해지게된다. 힘의 방향은 앞서 설명한 자기장에서 움직이는 힘의 방향을 따르게된다. 

위 그림을 좀더 이해하기 쉽게 그림으로 도식화해보았다. 외부전압을 인가하면 전류가 흐르게 되고 전류가 흐른다는 것은 전하의 움직임이 존재한다는 의미이다. 따라서 전하의 움직임+외부 자기장에 의해서 y=0 평면에 양공과 자유전자들이 쌓이게 된다. 따라서 결론적으로 쌓인 캐리어들로 인해 y축방향의 전기장이 발생하여 Vh가 발생하여 우리가 전압을 측정하는 원리이다. 따라서 최종적으로 Hall Voltage(Vh)를 측정해서 우리가 원하는 캐리어의 농도, 모빌리티, 그리고 반도체가 어떤 타입인지 까지 결정할 수 있다. 이제 공식을 한번 유도해 보자. 

 

#홀 효과의 공식유도

시스템이 정상상태에 도달하게 되면 캐리어가 더 이상 움직이지 않고 외부전압에 의한 움직임만을 하게 된다. 다시 말해 캐리어들의 움직임이 x방향으로만 움직이게 된다. 따라서 y방향의 힘의 합력은 0이 되므로 이것을 이용해서 식을 세워보면 다음과 같다. 

 

y방향에서 자기장에 의해 움직이는 캐리어가 받는 힘과 쌓인 캐리어들이 생성하는 전기장에 의한 힘이 크기는 같고 방향은 반대방향이 되어야 힘이 상쇄된다. 따라서 위와 같은 식이 유도된다. 

위식을 다시 정리하면 다음과 같이 쌓인 캐리어들에 의한 전기장식이 유도된다. 

전기장의 정의에 의해 앞서 정리한 전기장에 반도체의 너비를 곱하면 홀전압이 유도된다. 이제는 Vx를 결정하는 다른 식을 이끌어내야 한다. 이전에 배웠던 드리프트전류식을 기억해 보자. 그 전류밀도식에서도 동일하게 캐리어의 평균속도가 들어갔었다. 따라서 그 식을 이용해 다음과 같이 캐리어평균속도에 관한 식이 유도된다. 만약 이 홀전압이 +로 값이 나오게 되면 p타입 반도체이고 홀전압이 -값으로 나오면 n타입 반도체라고 말할 수 있다. 왜냐하면 양공은 +전하를 띠고 자유전자는 -전하를 띠기 때문에 y=0 평면에 쌓이는 캐리어의 종류에 따라 홀전압의 극성이 바뀌기 때문이다. 

위와 같이 전류밀도를 이용해 캐리어의 평균속도를 기술할수있다. 이제 이 식을 이용해서 앞서 결정한 공식들과 연립해서 식을 정리해보자. 

공식유도과정(p타입 반도체)

따라서 위와같이 홀전압이 유도된다. 식유도는 p타입으로 가정하고 공식을 유도한 것이기 때문에 타입이 달라지면 부호와 캐리어의 종류가 달라진다는 것을 주의하자. 이제 각 공식을 우리가 알고 싶은 파라미터를 기준으로 정리만 하면 공식이 만들어진다. 

다양한 공식 테이블

공식이 반도체 타입에 따라서 부호와 변수가 약간 다른 것에 주목하자. 공식을 외울 때 각 기호들이 어떤 의미를 가지고 있는지 정확하게 이해한 뒤에 외울 수 있도록 하자.