전공/공학수학32 [공학수학2] 복소적분 이번에는 복소평면에서의 복소적분에 대해서 한번 알아보자. 복소평면에서의 적분은 실수영역에서의 적분의 개념과는 약간 다르게 경로라는 개념이 존재한다. 즉, 단순한 구간이 아닌 곡선이 가능한 경로에 따라서 적분값이 달라질 수도 있다는 것이다. 우리는 이 경로 중에서 실질적으로 복소함수가 해석가능한 단순 닫힌곡선에서 만 해석할 것이다. 경로라는 개념을 함수적분에 이용하기 위해서 매개변수를 이용해 매개화를 함수에 적용해야 한다. 특히 매개화를 할 때 t의 범위를 원함수의 범위에 적용해서 잘 고려하자. 적분경로에 따른 함수의 매개화 방법을 알 수 있다. 적분경로는 수학에서 해석가능한 어떤 것도 경로가 될 수 있으며 경로가 함수로 표현될 수 있으면 매개화를 통해서 함숫값으로 나타낼 수 있다. 단위원 경로의 적분값을.. 2023. 1. 18. [공학수학2] 복소해석(2) 복소평면에서 복수함수를 좀더 알아보자. 어떤 복수함수 f(z)가 해석할수있을때 실수함수와 허수함수는 조화함수라는 것이다. 조화함수라는 것은 라플라스 방정식을 만족하는 함수라고 정의할수있다. 이를 이용해서 해석가능한 함수의 실수함수나 허수함수를 라플라스 방정식을 이용해 추정할수있다. 어떤 함수가 영역 d에서 해석적이고 실수부가 정의된다면 실수를 제외한 허수부는 정의될수있다는 것이 정의에 따라서 결정될수있다 복소평면에서의 지수함수를 알아보자. 복소지수함수는 실수부에서의 함수에서 허수부의 자연스러운 확장이며, 특징또한 영역만 다르고 거의 유사한 함수특성을 가진다. 복소영역의 가장 큰 특징은 주기성을 가진다는것이다. 편각의 특성으로 인해 지수함수가 주기적인 특징을 가진다고 할수있을것이다. 복소평면에서의 쌍곡함수.. 2023. 1. 18. [공학수학2] 복소해석 이번에는 복소평면에서의 복소수를 해석해보자. 복소수는 실수범주에 밖에 있는 수를 통칭해서 복소수라고 하며, 우리가 일반적으로 해석하는 실수평면에서는 나타낼수없다는 것이 일반적이다. 따라서 복소수를 해석하기위한 복소평면 이라는 개념을 도입하게 된다. 복소수의 연산은 앞서 배웠던것과 같이 실수는 실수끼리 복소수는 복소수끼리 연산해서 최종 복소수의 결과식이 만들어진다. 극좌표를 나타낸것과 같은방법으로 복소수역시 극형식으로 삼각함수형태로 나타낼수있다. 복소수의 극형식에서의 곱셈과 뺄셈연산은 삼각함수 공식을 이용해서 간단하게 나타낼수있을것이다. 특히 드 므아브르 공식은 복잡한 복소수를 간단하게 만들수 있다는것에서 유용하게 사용되므로 꼭 알아두자. 복소근은 다음과 같이 방정식의 해를 구하는것과 같은방법으로 구할수있.. 2023. 1. 17. [공학수학2] 편미분방정식-열전도방정식 이번에는 편미분방정식 마지막 파트 열전도 방정식에 대해서 알아보자. 기본적인 형태는 파동방정식과 비슷하지만 함수식에서 약간달라진다. 하지만 변수분리법을 이용하는 방법은 비슷하니, 꼭 알아두자. 먼저 형태가 간단한 1차원 열전도 방정식부터 알아보자. 기본적인 모델링은 길이가l인 막대가 x축상에 존자한다고 생각하고 양끝의 온도는 0도라고 경계조건을 설정한뒤에 문제를 적용한다. 앞서 변수분리법을 이용해 문제를 푼것과 동일하게 x에대한함수와 t에대한함수를 나누어서 적용한뒤, 각각의 기본형을 유도한다. 따라서 n에대한 일반항을 찾고 함수를 n의 일반항의 급수식으로 표현할수있다. 마찬가지로 2차원 열전도방정식도 변수분리법을 이용해서 풀수있다. 변수가 1개더 늘어났기때문에 각각의 경계에서 조건을 적용하고 함수식이 유.. 2023. 1. 16. [공학수학2] 편미분방정식-2차원 파동방정식/라플라스 연산자 앞서 소개했던 편미분 방정식을 적용해 2차원 파동방정식을 한번 배워보자. 2차원 파동방정식은 1차원 파동방정식에서 1개의 차원이 늘어난만큼 변수가 1개더 추가되었다. 따라서 모델링과정에서 선의진동이 아닌 면의 진동으로 해석한다.(박막진동) 따라서 경계조건 또한 박막의 경계수만큼 적용해야되고 초기조건의 조건도 늘어나게된다. 조건이 늘어난만큼 식도복잡하다. 하지만 기본적인 원리는 앞서 적용했던 변수분리법과 동일하다. 변수분리법을 이용해서 3개의 식을 유도한다음, 각각의 식을 미분방정식을 풀이한다. 각각의 미분방정식에 경계조건을 대입해서 비자명해를 찾아서 기본형을 유도한다. 기본형을 모두 결정하고 최종적인 계수를 공식화한다. 이때 f(x,y)는초기위치함수이고, g(x,y)는 초기속도함수이다. 따라서 초기조건에.. 2023. 1. 16. [공학수학2] 편미분방정식 편미분방정식에 대해서 알아보자. 편미분방정식은 1 변수가 아닌 다변수함수를 통칭하는 방정식이며, 변수가 여러 개일 때 방정식을 어떻게 풀어야 하는지 배울 것이다. 1 변수미분방정식은 공학수학 1에서 다루었지만 다변수에서도 기본적인 미분방정식의 형태에 대한 풀이법은 비슷하다. 따라서 내용이 헷갈리면 공수 1을 다시 보고 공부를 할 수 있도록 하자. 편미분방정식의 기본적인 개념과 형태에 대해서 알아두자. 기본적인 형태에서 추가된형태가 편미분방정식의 복잡한 형태이므로 기본적인 형태를 미리 아는 것이 중요하다. 특히 라플라스방정식은 나중에 활용되므로 개념은 꼭 알아두자. 파동방정식의 모델링이다. 현이 위아래로 진동한다고 가정하고 x축텐션과 y축텐션에대한 방정식을 이용해 방정식을 유도하는 과정이다. 특히 장력에 .. 2023. 1. 14. 이전 1 2 3 4 5 6 다음
