전공91 [공학수학1] 2계 제차상미분방정식(3)-오일러 코시 방정식 이번에는 단순히 상수계수를 갖는 형태가 아닌 x의항이 추가된 특별한 형태인 미분방정식을 알아보자. 위와 같은 형태를 오일러-코시 방정식(Euler-Cauchy equation)이라고 하며 y의 계수와 x의 차수가 동일하다는 특징을 갖는다. 보통 우리가 다루는 형태는 2차 오일러-코시 방정식에서 해석한다. 고계 오일러-코시 방정식은 해의 개수가 많아지기 때문에 해석하기 힘든 것이 일반적이다. 이때 a, b는 상수항으로 취급된다. 앞서 상수계수를 가지는 형태에서 해의형태를 가설해서 해석한 것처럼, 이 방정식에서도 마찬가지로 해의 형태를 예측해서 대입한 뒤, 오일러-코시 방정식의 기저와 일반해를 찾아보자. 위와 같이 x에대한 m차다항식으로 y 해를 가설해 보자. 다항식의 특성을 생각해보면 미분할수록 차수가 낮.. 2023. 1. 5. [공학수학1] 2계 제차상미분방정식(2) 이번에는 상수계수를 가지는 제차상미분방정식을 알아보자. 앞서 살펴본 내용은 상수계수가 아닌 일반적인 식이 y의 계수일 때 알아본 내용이었다. 하지만 이번에는 y의 계수가 상수항일 때 어떻게 미분방정식을 풀어야 하는지 한번 알아보자. 일반적으로 상수계수를 갖는 2계 제차상미분방정식은 다음과 같이 표현된다. 보통 이형태에서 어떻게 접근해야 타당하게 식이 성립될 수 있는지 잘 생각이 되지 않는다. 앞선 식과 같은 경우에는 기존에 존재하는식을 이용해서 타당한 새로운 식을 유도해서 해를 찾아내는 과정이었지만 이 상태에서는 새로운 식을 유도할 수도, 해를 직관적으로 찾을 수 없다. 따라서 우리는 해를 예측해서 주어진 식을 이용해 결정하는 방법을 사용한다. 우리는 이 해를 exp해로 예측한다. 왜냐하면 exp함수는 .. 2023. 1. 5. [공학수학1] 2계 제차상미분방정식(1) 이번에는 2계 상미분방정식에 대해서 알아보자 2계 미분방정식에서도 마찬가지로 여러 가지 형태가 존재하는데, 각 형태에 따라 다양한 풀이법이 존재한다. 각 형태에 따라서 풀이법을 한번 알아보자. 위와 같은 일반적인 y에 대한 2계 미분방정식의 형태는 다음과 같이 나타난다. 일반적으로 선형시스템에 대해서 미분방정식을 해석하게 되며, 선형이 아니면 방정식을 간단하게 해석하기 힘들다. 따라서 지금부터 다루는 미분방정식은 오직 선형시스템에서만 다루겠다. 이때 사용된 p(x), q(x), r(x)는 모두 x에 대해서만 이루어진 식이며, 이는 오직 x에 대한 식임을 의미한다. 1계 미분방정식과는 다르게 2계 미분방정식부터는 2개의 기저(해)를 가지게 된다. 2차 방정식에서 2개의 해가 존재하는 것과 비슷한 원리이다... 2023. 1. 5. [공학수학1] 1계 상미분방정식(3) 이번에는 완전상미분방정식의 형태로도 풀리지 않는 미분방정식의 해법을 알아보자 즉, 완전상미분방정식이 성립하지않을때 어떤 식으로 방정식을 풀어야 할까? 위와 같이 완전상미분방정식의 필요충분조건이 성립하지않을때는 이전에 소개한 방법을 사용할 수 없다. 따라서 이떄는 완전상미분방정식으로 만들어주기 위한 '적분인자'라는 개념을 도입해야한다. 적분인자는 필요충분조건이 성립하기위해서 양변에 곱해야하는 식을 의미하며, 이는 일반적으로 F라고 사용한다. 위와 같이 적분인자F를 곱해서 완전상미분방정식의 형태로 만들어주어서 미분방정식을 풀 수 있다. 하지만 적분인자 F를 알아내는것은 쉬운과정은 아니다. 그래서 이를 공식화 해서 나타내는것이 풀이에는 좀더 도움이 될 수 있다. 유도과정은 복잡하기 때문에 생략하겠다. 위와 같.. 2023. 1. 4. [공학수학1] 1계 상미분방정식(2) 이번에는 변수분리법이 아닌 다른 방법으로 상미분방정식을 풀이할 수 있는 방법을 살펴보자. 전미분의 형태로 나타난 식을 완전상미분 방정식이라고 한다. 위와 같이 ~dx+~dy=0으로 나타난 형태의 식을 완전상미분방정식이라고 하며, 이러한 형태로 나타난 방정식은 변수분리법이 아닌 전미분의 개념을 이용해서 좀 더 쉽게 미분방정식을 풀이할 수 있다. 1. 전미분의 개념 다변수함수에서 하나의 변수가 변할때의 변화량을 고려하는 것은 편미분이다. 하지만 다변수함수를 모든 변수에 대해서 미분하고 싶다면 편미분을 사용하는 것이 아닌 전미분을 사용해야 한다. 즉, 다변수함수에서 모든 변수에 대한 변화량을 모두 고려하는 것이 전미분의 개념이다. 위와 같이 각각의 변수에 대한 편미분을 구한뒤 더하는 것이 전미분의 정의이다. .. 2023. 1. 4. [공학수학1] 1계 상미분방정식(1) 앞서 소개한 여러가지 미분방정식 중에서 제일 간단한 1계 상미분방정식의 풀이를 살펴보자 1계 상미분방정식의 대표적인 풀이법에는 변수분리법이 있다. 1. 변수분리법 변수분리법은 말그대로 변수를 좌변과 우변에 분리시켜서 양변을 적분한뒤, 미분방정식의 원함수를 유도하는 과정이다. y'을 dy/dx 로 바꾸어주고 y에 대한 함수식은 좌변에(혹은 우변) x에 대한 함수식은 우변에 정리한다. 그리고 양변을 적분해주면 우리가 구하고자 하는 y에 대한 식이 나오게 되어서 미분방정식의 원함수를 구할 수 있다.예를 들어보면 다음과 같이 미분방정식을 풀이 할 수 있다. 위의 방정식은 y'=y에 대한 비교적 간단한 미분방정식을 변수분리법을 이용해서 풀이한 것이다. 직관적으로 보았을때 미분했을때 도함수가 원함수와 같아지는함수는.. 2023. 1. 3. 이전 1 ··· 12 13 14 15 16 다음
