전공91 [공학수학1] Laplace Transform (4)-제 2이동정리 저번에 알아보았던 델타함수와 계단함수를 이용해서 제 2이동정리를 한번 알아보자. 앞서 배웠던 1 이동정리는 출력함수 F(s)의 평형이동에 대한 이동정리였다. 하지만 제2 이동정리는 입력함수에 대한 평행이동을 하면 라플라스변환이 어떻게 변할 것인가에 대한 정리이다. 마찬가지로 라플라스 변환의 정의를 이용해 평행이동된 입력함수를 직접 라플라스 변환해 보자. 앞서 설명한 내용을 기반으로 다시 설명하자면, f(t-a)는 f(t)를 t 축을 기준으로 a만큼 평행이동한 것이고 f(t) 함수에 u(t)를 곱했다는 의미는 0초 이후의 신호만 해석하기 위해서 계단함수를 피변환함수와 곱해서 라플라스 변환한다. 즉, 각각의 함수를 a만큼 평행이동 하면 f(t-a) u(t-a)가 되며 이 함수가 공학적으로 의미하는 것은 시간.. 2023. 1. 7. [공학수학1] Laplace Transform (3)-unit step function/unit impulse function 제 2이동정리를 알아보기 전에 이번에는 단위계단함수(unit step function), 디랙 델타함수(unit impulse function)에 대해서 한번 알아보자. 이 두 함수는 라플라스변환과는 직접적인 관계는 없지만 제 2이동정리를 설명하기 위해서 함수의 개념이 사용되기 때문에 이렇게 먼저 설명한다. 특히 이 두 함수의 경우에는 공학에서 매우 중요하며 후에 신호처리나 회로의 해석, 통신 분야에 필수적으로 사용되기 때문에 꼭 제대로 정리를 하고 넘어가는 것이 중요하다고 생각된다. 1. 디랙 델타 함수(Dirac delta function/unit impulse function) 1.1 델타함수의 정의 먼저 델타함수가 어떤함수인지 알아보자. 흔히 임펄스함수라고도 부르며 이는 호칭의 차이일 뿐 의미는 .. 2023. 1. 7. [공학수학1] Laplace Transform (2)-제 1이동정리 이번에는 라플라스 변환의 기본적인 정리인 제 1이동정리(s이동정리) 에대해서 알아보자. 이동정리라고 해서 거창하게 생각할 필요가 전혀 없다. 그냥 단순하게 어떤 형태를 라플라스 변환하면 변환식이 a만큼 평형이동이 되는가에 대해서 정리해놓은 이론이다. 그럼 지금부터 한번 정리해 보자. 위와 같이 라플라스 변환이 된다고 저번에 알아보았다. 여기서 만약 변환결과식 F(s)가 a만큼 평행이동된 변환식 즉, F(s-a)가 결과식이 되기 위해서는 어떻게 식을 변형해야 될까? 당연히 s대신에 s-a를 넣어주면 식은 동일하게 성립하고 우리가 원하는 변환식의 결과를 얻을 수 있을 것이다. 따라서 다음과 같이 식이 성립한다. s 대신에 s-a를 대입하였더니 exp항에 a항이 추가되어서 라플라스변환식의 피적분함수가 변화하는.. 2023. 1. 7. [공학수학1] Laplace Transform (1) 이번에는 라플라스 변환에 대해서 한번 알아보자. 지금까지 소개했던 내용들은 모두 미분방정식의 풀이법에 대한 설명을 했다. 하지만 이번에는 '변환'이라는 초점에 맞추어서 한번 개념을 정리해 보자. 지금까지 했던 내용들과는 많이 다른 내용이므로 개념과 정의를 먼저 소개하겠다. 1. 라플라스 변환의 개념 우선 라플라스 변환은 공학에 있어서 매우 중요한 의미를 가진다. 변환의 목적은 보다 복잡한 고계 미분방정식의 풀이에있다. 하지만 고계 미분방정식은 앞서 설명한 방법을 사용해도 복잡하지만 풀 수는 있다. 그럼에도 라플라스 변환이 공학에서 중요한 이유는 다음과 같다. 첫 번째로 보다 직접적으로 문제를 해결할 수 있다. 이전에 배웠던 방법은 제차해를 먼저 구한 다음에 형식에 맞추거나 공식을 사용해서 비제차해를 구해.. 2023. 1. 6. [공학수학1] 2계 비제차상미분방정식 (2)-매개변수법 앞서 설명한 미정계수법은 우리가 일반적인 형태를 알고 있을 때나, 형태가 복잡하지 않을 때 유용하게 사용할 수 있는 방법이었지만, 이 매개변수법은 비제차항이 복잡할 때 유리하게 미분방정식을 풀 수 있는 방법이 다. 특히 비제차항을 미정계수방법으로 정의할 수 없는 경우에 이 매개변수방법을 이용해서 미분방정식을 풀 수 있다. 이 매개변수방법을 정의하기 위해서서는 론스키 행렬식(Wronskian) 의 개념이 들어간다. 제차해를 먼저 구한 다음 제차해를 이용해 행렬식을 각각의 디터미넌트로 정의해서 론스키 행렬식을 정의한다. 특히 이 행렬식은 각각의 기저에 대한 독립과 종속을 구별하는 데에도 유용하게 쓰이므로 알아두는 것이 좋다. 위와 같이 행렬식의 값을 구한 다음 비제차해를 공식화해서 나타낼 수 있다. 이때 주.. 2023. 1. 6. [공학수학1] 2계 비제차상미분방정식 (1)-미정계수법 이번에는 2계 비제차상미분방정식에 대해서 한번 알아보자. 이전까지는 모두 우변이 0인 제차형태인 상미분방정식을 다루었는데 만약 0이 아닌 비제차형태인 상미분방정식일 경우에는 어떤 식으로 방정식을 풀어야 하는지 한번 알아보자. 위와 같이 일반적인 형태로 나타낼 수 있는데 이 형태에서 r(x)가 0이 아닌 경우가 비제차형태의 상미분방정식이라고 정의할 수 있다. 이때는 제차해와 비제차해에 대한 경우를 나누어서 구해야 한다. 즉 모든 경우에 대한 해를 구한 뒤에 중첩의 원리를 적용해서 일반해를 결정할 수 있다는 의미와 동일하다. y의 일반해가 제차해+비제차해로 나타날 수 있고 이를 정의하기 위해서는 당연하게도 제차해와 비제차해를 모두 구해서 일반해를 결정해야 한다. 제차해는 우리가 저번에 배웠던 여러 가지 방법.. 2023. 1. 6. 이전 1 ··· 11 12 13 14 15 16 다음
