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전공91

[공학수학2] 푸리에급수(Fourier Series) (2) 이번에는 좀 더 일반적인 푸리에급수에 대해서 알아보자. 이전에는 주기가 2pi인 함수에 대해서 계수 공식을 유도했는데 이번에는 2pi가 주기가 아닌 함수에 대해서 푸리에급수가 어떻게 되는지 한번 알아보자. 주기 p=2L의식에서 L에 대한 식으로 계수식이 유도되는 것을 확인할 수 있다. 특히 구간연속인 함수가 존재할 때 주어진 계수식은 유의미하다고 볼 수 있다. 푸리에급수에 대한 파세발항등식도 많이 쓰이는 항등식이다. 특히 특별한 형태의 수열을 찾을 때 많이 사용되며 등식의 성질을 이용한 무한수열의 값을 구하는 과정 또한 중요하게 사용된다. 주어진 문제를 계수식을 이용해서 풀어봤더니 다음과 같이 나왔다. 특히 n에대한 수열로 함수식이 유도되었으며 n이 홀수일 때만 값을 가지는 것이 특징이었다. 홀수에서도 .. 2023. 1. 13.
[공학수학2] 푸리에급수(Fourier Series) 공학수학2의 첫번째내용 푸리에급수에 대해서 알아보자. 푸리에급수는 다양한분야에서 공학적인 도구로 많이 사용되며 특히 영상처리나 신호처리 분야에서 유용하게 사용된다. 정의를 시작으로 천천히 알아보자. 기본적인 삼각급수에 대한 정의를 이해하자 삼각급수의 일반적인 형태가 바로 푸리에급수의 기반이된다. 직교성과 대칭성또한 푸리에계수를 공식화하는데에 사용되므로 알아두자. 대칭성과 주기성을 이용해서 각각의 적분값이 0임을 이용한다. 따라서 공식화시에 좀더 식이 간단하게 만들어질수있으며 원함수 f(x)를 알고있을경우 각각의 적분값을 찾아서 계수를 공식으로 구할수있다. 특히 홀함수와 짝함수의 개념을 기억하자. 함수적분시에 적분식을 간단하게 하는 도구로 많이쓰이고 적분구간을 계산이 가능한형태로 바꿀수있게 해주는 개념이므.. 2023. 1. 13.
[공학수학1] 르장드르 방정식 이번에는 르장드르 방정식에 대해서 알아보자. 이 상미분방정식은 물리학에서 많이 사용되며 특히 구에대한 경계값문제를 해결하는데에 유용하다. 마찬가지로 특수한형태인 상미분방정식이 주어졌을때 어떻게 해결할건인가에 초점을 맞추어서 한번 알아보자. 위와 같은 형태가 주어졌을때 주어진 방정식의 해를 어떻게 구해야 할까? 위와같은 방정식의 형태는 일반적인 방법으로는 쉽게 풀리지않는다. 따라서 형태에 따라서 정형화된 해법을 숙지해서 방정식의 해를 좀더 쉽게 구하는것이 목적이다. 위와같은 방정식의 해를 pn(x)라 할때, n에 따른 방정식에 해는 다음과 같이 나타난다. 이런식으로 n에따라서 다항해가 나오는것을 확인할수있다. 이 식을 전부 외울필요성은 딱히 없는것같다. 그냥 상황에 맞게 n이 정해지면 그떄그떄 찾아보는것이.. 2023. 1. 11.
[공학수학1] 합성곱 정리(Convolution) 이번에는 합성곱정리(Convolution)에 대해서 한번 알아보자. 컨볼루션 적분은 공학수학을 배울 때는 크게 개념이 많이 사용되지 않지만 다른 전공에서 정말 자주 나오는 개념 중에 하나이다. 이 시기에 정확히 개념을 잡지 않으면 나중에 더 어려운 전공개념이 이해가 되지 않는 상황이 생길 수 있다. 나 역시 그랬으니... 따라서 기본적인 원리 및 개념과 어떤 공학적인 의미를 가지고 있는지 천천히 살펴보자. 1. 합성곱의 정의 합성곱은 다음과 같이 적분식으로 정의된다. 수학적인 의미는 다음과같다.하나의 함수를 타우축에 대해서 반전(reverse)시킨다. 그다음 t만큼 평행이동 시킨 뒤, f(타우)와 곱한 결과를 계속 더해나가는 방법이다. 이때 타우는 dummy variable으로 실제 적분을 하기 위해서 .. 2023. 1. 9.
[공학수학1] 프로베니우스 해법 이번에는 프로베니우스 해법에 대해서 알아보자 거듭제곱급수와 비슷하지만 약간 다른 방법이다. 급수를 이용한다는 것은 동일하지만 과정과 형태가 약간 다르다. 프로베니우스 해법의 개념은 거듭제곱해법의 개념보다 상위개념이라고 알아두면 이해하기에 편하다. 즉, 프로베니우스 해법의 부분집합이 거듭제곱해법이라고 이해해 두자. 거듭제곱으로 풀리지 않는 미분방정식을 프로베니우스 해법으로 풀 수 있기 때문에 확장된 거듭제곱급수라고 개념이라고 이해하자. 먼저 프로베니우스 해법을 적용하기위해서는 다음과 같이 식의 형태를 변화해서 해석해야 한다. 그다음 b(x), c(x)를 이용해서 우리가 원하는 계수를 찾는 과정을 한번 살펴보자. 위와 같이 구해야 하는 계수와 기본형에 따라서 어떤 해법이 쓰이는지 판단될 수 있다. 거듭제곱방.. 2023. 1. 9.
[공학수학1] 거듭제곱 급수해법 이번에는 거듭제곱 급수해법에 대해서 한번 알아보자. 저번에는 미분방정식을 보다 쉽게 다룰수있도록 s영역의 방정식으로 바꾸어서 미분방정식을 다루었다. 이렇게 s영역으로 바꾸는 과정을 라플라스 변환이라고 배웠다. 이번에는 변수계수를 갖는 선형상미분방정식의 풀이를 위한 표준적인해법인 거듭제곱 급수해법에 대해서 알아보자. 특히 이번방법은 라플라스 변환에서도 해법이 되지않는 공식에대해서 유의미하며 변수가계수인 방정식을 어떻게풀어야하는지에 목적을 가지고있다. -테일러 급수(Taylor series) 앞서배웠던 테일러 급수에 대해서 간단히 다시알아보자. 테일러 급수란 어떤도함수들의 한점에서의 값으로 계산된 항의 무한항의 급수로 해석함수를 나타내는 방법이다. 즉 어떤 해석함수를 다항함수들의 합으로 나타내는 방법이다. .. 2023. 1. 9.

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